Yakov Perelman - Algebra recreativa

Del prefacio del autor a la tercera edición rusa

l presente libro no es un manual elemental de álgebra para principiantes.

Algebra recreativa, al igual que otras obras mías de la misma serie, es, ante todo, un libro de estudio libre y no un texto. El lector al que destinamos el presente volumen debe poseer ciertos conocimientos de álgebra, aunque los haya asimilado superficialmente o los tenga semiolvidados.

Algebra recreativa se propone refrescar y afianzar estos conocimientos dispersos e inconsistentes, pero en primer lugar, pretende despertar en el lector el interés por los ejercicios de álgebra y el deseo de cubrir, con ayuda de los manuales, las lagunas de que adolezca.

A fin de hacer más atrayente el tema y elevar el interés por él, me valgo de métodos diversos: problemas a base de temas originales que despiertan la curiosidad, entretenidas excursiones por la historia de las matemáticas, inesperadas aplicaciones del álgebra a cuestiones de la vida práctica, etc.

Yakov Perelman

ntre las numerosas obras de divulgación científica, escritas por el célebre matemático soviético Yakov Perelman, figura el Álgebra recreativa.

Este libro no es un manual elemental de álgebra para principiantes. El lector, al que destinamos la presente obra, debe poseer ciertas nociones de álgebra, aunque las haya asimilado superficialmente o las tenga semiolvidadas. El libro Algebra recreativa pretende despertar en el lector el Interés por los ejercicios de álgebra y el deseo de cubrir, con ayuda de los manuales, las lagunas de que adolezca.

El libro contiene problemas confeccionados basándose en temas originales que despiertan la curiosidad en el lector, permite hacer entretenidas excursiones por la historia de las matemáticas, muestra inesperadas aplicaciones del álgebra a cuestiones de la vida práctica, etc.

El nombre de Yakov Perelman es ampliamente conocido en todo el mundo. De su pluma han salido muchas obras de divulgación científica como: Física recreativa, Matemáticas recreativas, Astronomía recreativa, Algebra recreativa, Geometría recreativa y muchas otras. Perelman falleció en 1942, durante el sitio de Leningrado.

Los libros escritos por él siguen siendo reeditados, habiendo sido, muchos de ellos, traducidos a distintas lenguas extranjeras. En los años pasados fueron introducidos en ellos, solo pequeños cambios a causa del rápido desarrollo de las ciencias y la técnica, considerándose ejemplares en el arte de divulgación científica. Estos libros siguen siendo los predilectos de millones de lectores de diferentes países.

En las páginas de los libros de Perelman se puede encontrar extractos de obras conocidas, leer relatos amenos sobre ilustres personajes y distintos fenómenos de la naturaleza, presentando, el autor, en cada uno de ellos, problemas de diferentes campos de la física, matemáticas, astronomía, que exigen detenida meditación con enseñanzas fructíferas.

La quinta operación matemática

Contenido

• 1. La quinta operación
• 2. Cifras astronómicas
• 3. ¿Cuánto pesa el aire?
• 4. Combustión sin llama ni calor
• 5. Las variaciones del tiempo
• 6. La cerradura secreta
• 7. Ciclista supersticioso
• 8. Resultados de la duplicación consecutiva
• 9. Millones de veces más rápido
• 10. 10.000 operaciones por segundo
• 11. Cantidad posible de partidas de ajedrez
• 12. El secreto de la máquina de jugar al ajedrez
• 13. Los tres doses
• 14. Los tres treses
• 15. Los tres cuatro
• 16. Con tres cifras iguales
• 17. Los cuatro unos
• 18. Los cuatro doses

on frecuencia se denomina al álgebra la «aritmética de las siete operaciones», queriendo subrayar con ello que a las cuatro operaciones matemáticas conocidas por todos, el álgebra añade tres más: la elevación a potencias y sus dos inversas.

Comencemos nuestras pláticas algebraicas por la «quinta operación»: la elevación a potencias.

¿Responde esta operación a una exigencia de la vida práctica?

Indudablemente. Con ella tropezamos a menudo en la vida. Recordemos los innumerables casos en que para calcular superficies y volúmenes se precisa elevar los números a la segunda o tercera potencia.

Otro ejemplo: la fuerza de gravitación universal, la acción recíproca electrostática y magnética, la luz y el sonido son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias. La continuidad de la traslación de los planetas alrededor del Sol (o de los satélites alrededor de los planetas) viene expresada también en forma de una potencia dependiente de la distancia que les separa de su centro de traslación: la relación entre los cuadrados de los tiempos de traslación es igual a la relación entre los cubos de las distancias.

Es un error pensar que en la práctica tropezamos tan sólo con segundas y terceras potencias, y que no existen exponentes de potencias superiores más que en los manuales de álgebra. Cuando un ingeniero busca el grado de solidez de un cuerpo se ve obligado operar a cada instante con cuartas potencias; y en otros cálculos (para hallar el diámetro de tubo conducto de vapor, por ejemplo) llega a operar incluso con la sexta potencia.

Asimismo los técnicos hidráulicos se valen de las sextas potencias cuando tratan de averiguar la fuerza con que son arrastradas las piedras por el agua: si la corriente de un río es cuatro veces más rápida que la de otro, el primero es capaz de arrastrar por su lecho piedras 46, es decir, 4.096 veces más pesadas que el segundo río.

Al estudiar la relación que existe entre la luminosidad de un cuerpo incandescente, el filamento de una válvula, por ejemplo, y su temperatura, se opera con potencias aún mayores. Cuando la incandescencia es blanca, su luminosidad general aumenta en relación a la decimosegunda potencia de su temperatura; cuando es roja, en relación a la trigésima potencia de su temperatura (siendo ésta «absoluta», es decir, a partir de –273 °C).

Esto significa que si calentamos un cuerpo de 2.000° a 4.000° absolutos por ejemplo, o sea, si elevamos su temperatura al doble, la luminosidad de dicho cuerpo aumentará en 212, es decir, en más de 4.000 veces.

En otro lugar nos ocuparemos de la importancia que tienen para la técnica de fabricación de válvulas electrónicas estas proporciones tan singulares.

Es probable que nadie haga tanto uso de la «quinta operación matemática» como los astrónomos.

Los exploradores del firmamento manejan sin cesar cantidades formadas por una o dos cifras significativas seguidas de una larga fila de ceros. Sería muy incómodo expresar con los medios ordinarios tales cantidades, llamadas con razón «astronómicas» y, sobre todo, operar con ellas. Los kilómetros que nos separan de la nebulosa de Andrómeda se representan con la siguiente cifra:

95 000 000 000 000 000 000.

Por añadidura, al efectuar cálculos astronómicos, muchas veces hay que operar no con kilómetros u otras unidades aún mayores, sino con centímetros. En este caso, la distancia antes referida lleva cinco ceros más:

9 500 000 000 000 000 000 000 000.

La masa de las estrellas viene expresada en cifras todavía más considerables, sobre todo si hemos de registrarla en gramos, como exigen muchos cálculos.

La masa del Sol, en gramos, es igual a: