Yakov Perelman - Geometría recreativa

Geometría en el bosque

Contenido:

1. Medición de la altura mediante la longitud de la sombra.
2. Dos métodos más
3. El método de Julio Verne
4. Como actuó el coronel
5. Con ayuda de una agenda
6. Sin acercarse al árbol
7. El altímetro de los silvicultores.
8. Con ayuda del espejo
9. Dos pinos
10. La forma del tronco
11. Un gigante de seis patas.

1. Medición de la altura mediante la longitud de la sombra.

Todavía recuerdo cuando miré atentamente por vez primera a un canoso guardabosque, el que estando junto a un gran pino, midió su altura con un instrumento de bolsillo. Cuando apuntó con una tablilla cuadrada a la copa del árbol, yo esperaba que el viejo subiera con una cadena para medirlo; en lugar de ello, volvió a meter en el bolsillo el instrumento y dijo que había efectuado la medida. En ese momento yo pensaba que el viejo aún no había comenzado su trabajo…

En aquel tiempo yo era muy joven y me parecía milagrosa esa forma de medir la altura del árbol sin cortarlo ni subirse a él. Solo mas tarde, cuando tuve las primeras nociones de geometría, comprendí que tan fácil resulta hacer ese tipo de milagros.

Existen diversas formas de realizar dichas mediciones con ayuda de sencillos instrumentos, sin mecanismos especiales.

Una de ellas es un método tan fácil como antiguo. Sin duda con este método el sabio griego Thales, quien vivió seis siglos antes de Cristo, midió la altura de una pirámide en Egipto. Aprovechó la sombra suya. Los sacerdotes y el faraón, se reunieron al pie de la pirámide, mirando con asombro al extranjero, quien dedujo por la sombra la altura de la gran construcción. Thales, dice la leyenda, eligió un día en el que la longitud de su sombra era igual a su altura, en el mismo momento, la altura de la pirámide tenía que ser igual a la longitud de su sombra. Es el único caso en el que se emplea la sombra de una persona para efectuar la medición…

La tarea del sabio griego ahora nos parece simple, pero hemos de tener presente, que estamos mirando el trabajo desde la cima del edificio de la geometría, levantado después de Thales, quien vivió en una época anterior a Euclides, el autor del famoso libro, en el que muchos matemáticos estudiaron la geometría durante dos siglos después de su fallecimiento. En concreto, las bases de la geometría establecidas en el citado libro son bien conocidas hoy por cualquier alumno, mas no eran conocidas en la época de Thales, quien echando mano de la sombra para calcular la altura de la pirámide, necesitaba conocer algunos principios geométricos del triángulo, en esencia, los dos siguientes (Thales fue el primero en enunciar estos principios):

1. Los ángulos sobre la base de un triángulo isósceles, son iguales, y recíprocamente, los lados, opuestos a los ángulos iguales del triángulo isósceles, son iguales.
2. La suma de los ángulos de cualquier triángulo (el triángulo rectángulo es un caso particular), es igual a dos ángulos rectos.

Thales, armado solamente de estos principios, pudo inferir que al estar sobre un terreno plano, siendo su sombra igual a su altura, los rayos de Sol debían caer en un ángulo igual a la mitad del ángulo recto, por lo tanto, la altura de la pirámide desde el centro de su base y el extremo de su sombra definían un triángulo isósceles.

Con ayuda de este método que parece tan simple, durante un día soleado podemos hacer mediciones de cualquier árbol aislado, siempre que su sombra no se una a la sombra de otro. Pero en nuestras latitudes (San Petersburgo está en la latitud 60°N y El Cairo, 30°N) no es tan fácil elegir un buen momento como si se puede en Egipto; acá el Sol se presenta a muy baja altura sobre el horizonte, y las sombras pueden ser iguales a la altura de sus objetos solo durante el verano, alrededor del mediodía. Por eso el método del Thales no siempre resulta fácil de llevar a la práctica.

De una manera un poco distinta resulta fácil calcular la altura mediante la sombra en un día soleado, no importando la longitud de ésta. Puede medir su propia sombra o la de un jalón enterrado verticalmente en un suelo plano y calcular la altura buscada mediante la siguiente proporción (figura 1):

AB : ab = BC : bc

Es decir, que la altura del árbol equivale tantas veces a su altura (o la del jalón), como tantas veces equivale la sombra del árbol a su sombra (o la del jalón).

Figura 1. Medición de la altura de un árbol por su sombra.

Esto se deduce de la semejanza geométrica de los triángulos ABC y abc (por tener dos ángulos congruentes).

Algunos lectores replican, pues, que este método es tan elemental que no necesita argumentación geométrica. ¿Sin echar mano de la geometría, es posible saber qué tan alto es el árbol conociendo la longitud de su sombra? Ciertamente no es tan fácil como parece. Intente llevar a la práctica este método, proyectando una sombra con la luz de una lámpara; verá que no se cumple.

En la figura 2 se observa que la altura del poste AB equivale aproximadamente al triple de la altura de la columna pequeña ab, mientras que la altura de la sombra del poste es unas ocho veces más larga que la sombra de la columna (BC : bc). No es posible explicar, sin echar mano de la geometría, por qué podemos emplear el método en unos casos y en otros no.

Problema

Veamos dónde está la diferencia. Lo que pasa es que los rayos del Sol son paralelos entre sí, mas los rayos del farol no lo son. Esta última parte queda clara, pero ¿cómo pueden ser paralelos los rayos del Sol, si ellos se cruzan entre sí en el punto de donde parten?

Figura 2. Cuando el mismo método de medición es imposible.

Solución

Los rayos de Sol que caen sobre la Tierra se pueden considerar paralelos, porque el ángulo entre ellos es tan pequeño, que prácticamente resulta imperceptible. Un simple cálculo geométrico puede aclarar esta confusión. Imagínese que salen dos rayos desde cualquier punto del Sol y caen sobre la Tierra a una distancia aproximada de un kilómetro entre ellos. Ahora bien, si colocamos una punta del compás sobre el Sol y trazamos una circunferencia de radio igual a la distancia entre el Sol y la Tierra (150.000.000 km), nuestros dos rayos –radios de la circunferencia– tienden un arco de un kilómetro de longitud.

La longitud total de esta gigantesca circunferencia es igual a:

L = 2 × π × 150.000.000 = 940.000.000 km

Un grado de esta circunferencia, evidentemente, es 360 veces menor, es decir, que mide unos 2.600.000 km; un minuto de arco es 60 veces menor que el grado, o sea que mide unos 43.000 km, y un segundo de arco es 60 veces menor, o sea que mide unos 720 km. Pero nuestro arco tiene la longitud de 1 km; es decir, corresponde a un ángulo de 1/720 segundos. Ese ángulo resulta imperceptible, incluso para los instrumentos astronómicos; por lo tanto, podemos considerar que los rayos de Sol caen a la Tierra en forma paralela.

Figura 3. Cómo aparece la sombra.

No podemos argumentar el método examinado sin efectuar las correspondientes consideraciones geométricas, estableciendo la proporción entre la altura y su sombra.

Si llevamos a la práctica el método de las sombras, constataremos su inexactitud. Las sombras tienen un contorno difuso por lo cual no se pueden delimitar con precisión; por lo que su demarcación carece de exactitud.