John Gribbin - En busca de SUSY

APÉNDICE 1

TEORÍA DE GRUPOS PARA PRINCIPIANTES

La teoría de grupos es una rama de las matemáticas que trata de grupos y simetría. En matemáticas, un grupo (o un grupo de simetría) se define como una colección de elementos (un conjunto), designados a, b, c, y así sucesivamente, y relacionados entre sí mediante ciertas reglas:

Primero, si a y b son miembros del grupo G, entonces su producto, ab, es también miembro del grupo G. Este proceso es asociativo, lo que significa que a(bc) = (ab)c, y así sucesivamente.

Segundo, debe existir un elemento, llamado elemento unidad y generalmente designado e, que se define tal que ae = a, be = b, y así sucesivamente para todos los elementos del grupo.

Tercero, cada elemento tiene un inverso, que se escribe a−1, b−1 y así sucesivamente, y se define tal que aa−1 = e, y así sucesivamente.

Un grupo tal que ab = ba es un grupo abeliano. El conjunto de los números enteros (1,2,3…) es un ejemplo simple de grupo abeliano. Más generalmente, los grupos están constituidos por elementos que son ellos mismos matrices. Una matriz es un tipo de número multidimensional, representado mediante una serie de números dispuestos en una suerte de cuadrícula, como las piezas de ajedrez sobre el tablero. Si el menor de los objetos representados por un grupo en particular tiene N filas por N columnas (una matriz N × N), entonces N es la dimensión del grupo. De aquí viene el número 3 en el grupo SU(3), que resulta ser importante en la física de partículas: es la dimensión de ese grupo en particular («SU» viene del inglés Special Unitary group, grupo unitario especial).

La teoría de grupos fue desarrollada en el siglo XIX por el matemático noruego Sohus Lie (por lo que estos grupos reciben a veces la denominación de «grupos de Lie»). Si bien la teoría de grupos se había utilizado en descripciones matemáticas de la simetría de cristales, fue una rama de la matemática más bien oscura hasta la segunda mitad del siglo XX, cuando Chen Ning Yang y Robert Mills dieron con una manera de describir la interacción fuerte mediante grupos de Lie, y luego Murray Gell-Mann y Yuval Ne’eman (trabajando independientemente) descubrieron que SU(3) proporcionaba un marco para la descripción matemática de las relaciones entre partículas elementales. Desde entonces, los grupos de simetría han sido una herramienta esencial de los físicos para el desarrollo de las teorías gauge de las fuerzas de la naturaleza. En este contexto, los grupos de simetría se denominan a veces grupos gauge.

Un ejemplo sencillo de grupo es el conjunto de rotaciones de un sistema de coordenadas (los ejes x, y de un gráfico) alrededor del punto de encuentro de los ejes x e y. Si se hace rotar el eje del gráfico, las coordenadas de cada uno de los puntos, medidas por referencia a los ejes, cambian, pero las relaciones entre los puntos no cambian: no es más que un simple ejercicio de poner etiquetas nuevas, una transformación gauge. Esto significa, por ejemplo, que aunque la Tierra esté en rotación, la distancia de Londres a París (o entre cualesquiera lugares de la Tierra) permanece inalterada. Todos nosotros experimentamos transformaciones gauge literalmente a cada minuto. Y si se mueven los ejes primero un ángulo A y después un ángulo B, el resultado es el mismo que si se mueven directamente un ángulo C, donde C = A + B. Como el ángulo de rotación se puede hacer tan pequeño como uno desee y varía de forma continua, como en el ejemplo de la Tierra en rotación, este grupo de rotación es un grupo continuo (los grupos SU, tan importantes en la teoría de partículas, son también grupos continuos). El hecho de que las leyes de la física permanezcan inalteradas por transformaciones de este tipo implica la ley de conservación del momento angular; en general, siempre que un grupo de simetría describe el comportamiento de un fenómeno físico, debe haber una cantidad que se conserva asociada a ese fenómeno (esta proposición se denomina a veces teorema de Noether, y es una característica útil de la teoría de grupos que puede aprovecharse para examinar el comportamiento físico de partículas y fuerzas).

Los grupos que describen el comportamiento de partículas y campos en el mundo cuántico son por desgracia más difíciles de visualizar en términos físicos, pero obedecen los mismos principios matemáticos. Una de las características clave de esta aplicación de la teoría de grupos es que, a causa de las simetrías inherentes, predicen que debe existir un número determinado de partículas de cada tipo determinado (de quarks, por ejemplo, o de gluones), descritos por un grupo de simetría determinado. Por ejemplo, SU(3) tiene «sitio» para quarks de sólo tres variedades de carga de color, y para ocho únicas variedades de gluones.

Una de las características clave del tipo de grupos importantes en la teoría de física de partículas es su simetría. Todos sabemos qué es la simetría en un contexto geométrico, y esta idea es trasladada al mundo cuántico para describir las relaciones entre fuerzas y partículas. Esto permite a los científicos describir la física mediante la geometría, invocando, de ser necesario, más dimensiones que las tres dimensiones familiares del espacio más la del tiempo.

Un ejemplo familiar de simetría es la simetría de reflexión de ciertos patrones, en la que el lado derecho del patrón es la imagen especular del lado izquierdo. La esfera posee otro tipo de simetría: se ve siempre igual, independientemente de cómo se la haga rotar, por lo que decimos que posee simetría esférica, o que es invariante a las rotaciones.

La simetría forma parte de las leyes de la física de una forma muy profunda. La simetría que dice que las leyes de la naturaleza son las mismas en cualquier lugar del Universo (invariancia a la traslación), por ejemplo, corresponde a la ley de conservación del momento linear; la simetría que dice que las leyes de la física son las mismas en todo momento equivale a la ley de conservación de la energía; y la invariancia a la rotación de las leyes de la física es equivalente a la ley de conservación del momento angular.

Muchas de las simetrías de la física cuántica son simetrías rotas, correspondientes a situaciones que son intrínsecamente simétricas pero se han vuelto asimétricas. El ejemplo clásico es el de una bola en equilibrio en la cima de una colina cónica perfecta; cuando la bola rueda por uno de los lados del cono, se rompe la simetría, pero la situación final todavía lleva la marca de la simetría subyacente. Con estas ideas, los físicos han descubierto simetrías entre las fuerzas de la naturaleza, entre quarks y leptones, e incluso entre fermiones y bosones (supersimetría).

Un tipo particular de simetría se sitúa en el centro de la teoría de campos. Se trata de la simetría gauge, un concepto utilizado en la teoría de campos para describir un campo tal que las ecuaciones que describen el campo no cambian al aplicarse una operación a todas las partículas del espacio. (Es posible también poseer simetría local, que corresponde al caso en que la operación se aplica a una región particular del espacio).

El término «gauge» significa simplemente «medir», y lo importante es saber que los campos con simetría gauge pueden volver a medirse («regauge») a partir de diferentes líneas de referencia sin que sus propiedades se vean afectadas.

El ejemplo clásico es la gravedad. Imagínese una bola colocada sobre un escalón de una escalera. Tiene una cierta cantidad de energía gravitatoria potencial. Si la bola se baja hasta otro escalón, pierde una cantidad determinada de energía gravitatoria, y esta cantidad depende únicamente de la fuerza del campo gravitatorio y de la diferencia de altura entre los dos escalones. La energía potencial gravitatoria puede medirse desde donde se desee. Generalmente se mide con referencia a la superficie de la Tierra o al centro de la Tierra, pero podría escogerse cualquiera de los dos escalones, o cualquier punto en el Universo, como punto de referencia con valor cero. En cualquiera de los casos, la diferencia de energía entre los dos escalones es siempre la misma, independientemente de cómo se vuelva a medir («regauge») la línea de referencia. Por consiguiente, la gravedad es una teoría gauge.