Tim Maudlin - Filosofía de la física, I. El espacio y el tiempo

Traducción
MARIANO SÁNCHEZ-VENTURA
Revisión técnica
ELIAS OKON

BREVIARIOS
del
FONDO DE CULTURA ECONÓMICA

H E PRESENTADO LA RELATIVIDAD ESPECIAL en una forma algo atípica, enfocándome primordialmente en la geometría del espacio-tiempo de Minkowski y sólo de forma secundaria en las coordenadas de Lorentz. Las coordenadas tienen un rol de mera conveniencia, a partir del cual se facilita el cálculo del intervalo entre los eventos. Mediante este método es posible solucionar ciertos tipos de problemas sin la necesidad de determinar las transformaciones de Lorentz. También he recurrido mucho al empleo de los diagramas de espacio-tiempo, señalando las diferencias y las similitudes entre el espacio euclidiano y el espacio-tiempo minkowskiano.

La clave para solucionar estos problemas está en la utilización de un marco de Lorentz conveniente. Por un marco conveniente entiendo uno en que los cálculos se hagan con facilidad: podemos utilizar cualquier marco que queramos para obtener los resultados correctos, pero la matemática es más sencilla en algunos de ellos. La selección de un marco conveniente usualmente implica la decisión de considerar que un objeto masivo en movimiento inercial se encuentra “en reposo”. La línea de mundo de este objeto será una línea vertical en nuestro diagrama de espacio-tiempo. Si este objeto es un reloj, habrá de marcar los valores coordenados t en este marco lorentziano.

Una vez que hayas decidido cuál objeto se encontrará “en reposo”, dibuja un diagrama de espacio-tiempo. No olvides que los objetos en movimiento inercial y que los rayos de luz en un vacío se representan ambos por líneas rectas, y que las trayectorias de los rayos de luz siempre tienen un ángulo de 45° en el diagrama. Una vez que traces el diagrama, apunta en él toda la información que tengas respecto a los intervalos entre los eventos. La información es la misma en todos los marcos de Lorentz. Así, por ejemplo, para cualquier rayo de luz muestra que I = 0. Y si hay un reloj en el diagrama y se muestra la hora que marca, recuerda que el reloj mide I a lo largo de su trayectoria.

Con todos estos hechos puedes determinar las coordenadas del evento en el marco seleccionado. Tienes la fórmula general “seudopitagórica” para calcular I en cualquier marco de referencia:

que será la base de tus ecuaciones. Los siguientes problemas son de dos dimensiones, de modo que sólo necesitarás una coordenada t y una coordenada x para todos los eventos. La diferencia en las coordenadas t en un marco te da el “tiempo transcurrido entre los eventos” en ese marco, y la diferencia en las coordenadas x te da la “distancia entre los eventos” en ese marco. Con base en el “tiempo transcurrido” y en la “distancia” en un marco, puedes calcular la “velocidad” en ese marco. Pero siempre debes tener en cuenta que el “tiempo transcurrido”, la “distancia” y la “velocidad” son cantidades dependendientes del marco: varían de un marco a otro. El hecho de calcularlas en un marco no te dice cuál será su valor en otro marco. El intervalo, en cambio, es una cantidad independiente del marco: es la misma en todos los marcos lorentzianos.

Puedes aplicar la “fórmula seudopitagórica” I = los “triángulos rectos” en el diagrama para calcular la longitud de la hipotenusa del intervalo, pero sólo en los triángulos en que un lado (Δt) es vertical y el otro (Δx) es horizontal. La clave para la solución de muchos problemas está en trazar líneas adicionales con el fin de formar los triángulos rectos adecuados. Cada triángulo proporciona una ecuación.

La trayectoria de cualquier objeto en movimiento inercial se dará mediante una ecuación lineal en un marco de Lorentz. En el caso de un problema de dos dimensiones en que sólo se utilicen t y x, la ecuación será representada por x = vt + C, donde v es la velocidad del objeto en este marco y C es una constante.

1. Los relojes A y B están sincronizados uno junto al otro. Se separan exactamente a las 12:00 (en cada reloj), moviéndose inercialmente en direcciones opuestas. Al marcar las 12:01, el reloj A emite un rayo de luz. Cuando recibe el rayo de luz, el reloj B marca las 12:02. Utilizando solamente la definición del intervalo y los hechos sobre los relojes y los rayos de luz, determinar lo siguiente:

a) En el marco de referencia del reloj A, ¿cuándo llega el rayo de luz al reloj B?

b) En el marco de referencia del reloj A, ¿qué distancia separa a los relojes cuando el rayo de luz llega al reloj B?

c) En el marco de referencia del reloj A, ¿a qué velocidad se mueve el reloj B?

d) En el marco de referencia del reloj A, ¿qué distancia separaba a los relojes cuando el reloj A emitió el rayo de luz?

e) En el marco de referencia del reloj B, ¿cuándo emite el rayo de luz el reloj A?

f) En el marco de referencia del reloj B, ¿qué distancia separaba a los relojes cuando el rayo de luz llegó al reloj B?

g) En el marco de referencia del reloj B, ¿qué distancia separaba a los relojes cuando el reloj A emitió el rayo de luz?

h) Con base en las respuestas anteriores, calcular el retraso de cada reloj según el juicio del otro.

i) La fórmula usual de la dilatación del tiempo dice que un reloj que se mueve a la velocidad v se retrasa por un factor de donde c es la velocidad de la luz. Comparar esto con el resultado del inciso h. Hay que recordar que en un marco de Lorentz, tal como nosotros lo hemos definido, c = 1.

(Es posible solucionar más fácilmente algunos de estos problemas si recuerdas que la velocidad del reloj A con relación al reloj B es igual a la velocidad negativa del reloj B con relación al reloj A.)

2. Dos gemelos, Samuel y Susana, parten al mismo tiempo de la Tierra. Susana sale en una nave espacial y luego viaja inercialmente hasta que sus relojes muestran que ha pasado un año. En ese momento ella revierte su dirección y vuelve a viajar inercialmente. Al llegar de nuevo a la Tierra, dos años más han pasado (en sus relojes), haciendo un total de tres años. A su regreso, Samuel tiene cuatro años más que cuando ella partió.

a) Según el marco de referencia de Samuel, ¿cuándo revierte su dirección Susana?

b) Según el marco de referencia de Samuel, ¿qué distancia separa a los gemelos cuando Susana revierte su dirección?

c) Según el marco de referencia de Samuel, ¿a qué velocidad parte Susana? ¿A qué velocidad regresa?

d) Según el marco inercial de Susana en el momento que sale, ¿qué distancia separa a los gemelos cuando ella revierte su dirección?

e) Según el marco inercial de Susana en el momento de regresar, ¿qué distancia separa a los gemelos cuando ella revierte su dirección?

3. Con el fin de demostrar que la relatividad especial no requiere coordenadas, considera cómo resolver un problema mediante la utilización de sólo una regla recta minkowskiana y un compás minkowskiano. Es decir, supón que es posible trazar líneas rectas en el espacio-tiempo utilizando la regla recta y que el compás marca lugares de igual intervalo invariante desde un punto dado. Si centras el compás en