Dmitry Fomin - Círculos matemáticos

Prefacio

En la historia de las matemáticas, la curiosidad por la resolución de problemas de ingenio ha sido un factor que ha contribuido a la creación matemática tanto o más que sus posibles aplicaciones prácticas.

Lluis A. Santaló

La matemática, una filosofía y una técnica

¿Qué son las matemáticas para un estudiante que acaba de empezar la Secundaria Obligatoria? Ha estudiado matemáticas todos los cursos desde los seis años y cree –porque se lo repiten continuamente– que son muy importantes; sabe realizar cálculos sencillos, reconoce figuras geométricas… Seguramente para él o ella las matemáticas son simplemente un instrumento con el que calcular y medir.

¿Cómo puede imaginar lo que las matemáticas tienen de reto, de juego y de creación?

¿Qué matemáticas puede presentar un profesor a esos alumnos que reclaman más de lo que ofrecen los currículos? ¿Qué hacer para iniciarlos en la actividad matemática despertando y manteniendo su interés?

¡Qué difícil es la respuesta! Y sin embargo, la matemática elemental encierra pequeños y grandes tesoros con los que incluso los más jóvenes pueden hacer matemáticas, conjeturando, relacionando, generalizando o demostrando.

Una de las posibles vías para mostrar a estos estudiantes otra cara de las matemáticas, para conseguir –haciendo un paralelismo con la música– que no se limiten a hacer escalas, sino que también interpreten pequeñas piezas, es a través de la resolución de problemas: al fin y al cabo, los problemas son el corazón de las matemáticas. Los matemáticos profesionales, cuando investigan, resuelven problemas. Pero si proponer un buen problema no es en absoluto una tarea sencilla, esta tarea se convierte casi en arte cuando los destinatarios, por su edad y grado de madurez intelectual, carecen de técnicas. No queda entonces más remedio que recurrir a las ideas, a la imaginación y a la creatividad. Hay que tener sensibilidad para calibrar adecuadamente lo que es posible resolver, para graduar la dificultad de lo que se propone. Y no solo eso, sino también lo que es realmente importante: hay que saber presentar el conjunto de manera atractiva, que interese y sorprenda, aprovechando esa curiosidad innata que tienen los niños y que con tanto mimo debemos alimentar. La elección de problemas debe mostrar, en la medida de lo posible, la gran belleza que encierran las matemáticas.

En este arte, los creadores de problemas de la antigua Unión Soviética han probado cumplidamente ser auténticos maestros, y estos “Círculos Matemáticos” son una excelente muestra de ello. A través de sus páginas, el lector se enfrentará a pequeños retos que le engancharán rápidamente. Están agrupados alrededor de ideas –paridad, invariantes, juegos de estrategia…– sencillas, pero profundas y fructíferas, como lo son las buenas ideas en matemáticas. Son pocos los conocimientos previos para poder enfrentarse a ellos, pero se van adquiriendo –congruencias, combinatoria, aritmética elemental–, de forma casi inconsciente, según se van resolviendo los problemas.

Un problema, un buen problema, como lo son los recogidos en este libro, tiene mucho de aventura. En esa especie de viaje a lo desconocido que significa adentrarse en ellos, los estudiantes de secundaria que lo emprendan, guiados por sus profesores, se encontrarán, seguro, con las matemáticas de verdad. Descubrirán que pueden enfrentarse con éxito a problemas difíciles y además disfrutar con ello.

Pero este viaje está abierto a cualquiera, estudiante o no, adolescente o adulto, que tenga afición por las matemáticas. Les animo a que lo realicen, esperando que disfruten con la experiencia tanto como yo misma sigo haciendo.

María Gaspar Alonso-Vega

Presidenta de la Comisión de Olimpiadas. RSME

Pozuelo de Alarcón, 25 de octubre de 2011.

Prólogo a la Edición Rusa

§1. Introducción

En un principio, escribimos este libro para ayudar a la gente de la antigua Unión Soviética que tenía que “ocuparse” de la educación matemática que se salía del currículo oficial: profesores de instituto y universitarios que participaban en programas de educación matemática de algún tipo, entusiastas diversos de los que participan en círculos y reuniones matemáticas o gente que lo único que pretendía era leer algo recreativo y matemático a la vez. Y, por supuesto, para aquellos estudiantes que querían trabajar este tipo de aspectos matemáticos por su cuenta.

Otra de las razones para escribir este libro fue que considerábamos necesario dejar constancia del papel que jugó la tradición que en educación matemática ha existido en Leningrado (actualmente, San Petersburgo) durante los últimos 60 años. Nuestra ciudad fue, de hecho, la cuna de la olimpiada matemática de la URSS (y en ella se celebraron los primeros seminarios matemáticos para estudiantes en 1931–32, y la primera Olimpiada de la ciudad, en 1934), y aunque aún sigue siendo líder en este área, su enorme experiencia educativa no ha sido debidamente documentada.

A pesar de la variedad estilística de los materiales que ofrecemos en este libro, es metodológicamente homogéneo. Proponemos, en nuestra opinión, la mayoría de los temas básicos necesarios en las sesiones de un círculo matemático en los dos primeros años de educación extraescolar (para estudiantes de, aproximadamente, 12–14 años de edad). Nuestro principal objetivo era hacer más fácil al profesor la preparación de las sesiones y la recopilación de problemas (o, lógicamente, a cualquier entusiasta dispuesto a pasar tiempo con jóvenes estudiantes, enseñándoles matemáticas de las que no aparecen en el curriculum ). Queríamos contar ideas matemáticas que fuesen importantes para los estudiantes y explicar cómo podemos llamar su atención hacia ellas.

Debemos destacar que el propio trabajo de preparar y dirigir una sesión de este tipo ya es, en sí mismo, un proceso creativo. Por esta razón, no sería prudente seguir nuestras recomendaciones a ciegas. Sin embargo, esperamos que este libro te proporcione material para la mayoría de sesiones. Sí parece más natural esta otra utilidad del libro: que antes de trabajar un tema matemático específico, el profesor lea y analice el capítulo correspondiente del libro, para después comenzar a construir un esbozo de la sesión. Lógicamente, habrá que hacer algunos ajustes en función del nivel de cada grupo de estudiantes. Como fuentes complementarias de problemas, recomendamos mirar [ 13, 16, 24, 31, 33 ], y [].

Nos gustaría destacar dos puntos importantes de la tradición que existe en las actividades extracurriculares de educación matemática en Leningrado:

1. En las sesiones se da una comunicación viva y espontánea entre los estudiantes y profesores y cada estudiante es tratado, dentro de lo posible, de forma individual.

2. El proceso comienza a una edad bastante temprana: por lo general durante el 6 º grado (11–12 años de edad) y, a veces, incluso antes.

Escribimos este libro como guía especial para estudiantes de secundaria y sus profesores. La edad de los estudiantes, sin duda, debe influir en el estilo de las sesiones. Así pues, algunas sugerencias: