Mariano Mataix - Historias de matemáticos y algunos problemas

MARIANO MATAIX LORDA

Historias

de matemáticos

y algunos problemas

© M. MATAIX LORDA, 1986

Escaneado: Jacgarper

Edición digital: Sargont (2019)

ISBN: 84-267-0611-8

Depósito Legal: B-2863-86

Impreso en España

Printed in Spain

A los nuevos extraterrestres Eugenio y Alejandro, que algún día lejano tal vez lo lean y tengan un recuerdo para el autor.

Enunciados

A lo largo de mi quehacer matemático tengo la satisfacción de que mis lectores vayan participando en él. Por ello quiero comenzar este prólogo por las observaciones que sobre mi libro “Ocio matemático” me hace un amable e implacable lector y crítico, don Luis Benítez. Veamos en qué consisten. Se refieren a los problemas 8 y 72. En el primero de ellos hay una errata —donde dice 100 debería decir 1.000— y una redacción del enunciado un tanto desafortunada. En cuanto a este segundo punto, la frase: “Por otra parte, con las negras podía a su vez formar una matriz cuadrada, de un orden superior al de las blancas...”, debería continuar con una aclaración como la siguiente: “es decir, que si por ejemplo las blancas son a, las negras habrán de ser (a + l)”. Esto es lo que trataba de expresar en el enunciado, en el que ahora he subrayado la palabra un para hacer hincapié en ello. Que esa era mi intención queda claro al leer la solución; que estuviese claro en el enunciado, es ya más dudoso.

En cuanto al problema 72, como mi lector me señala, hay una parte que es incorrecta. Me refiero al problema que doy en lenguaje “cheli”. El señor Benítez dice que seguramente no funcionará la pequeña trampa, por el sencillo motivo de que la transposición que proponía puede —y debe en general— quedar anulada por existir otras varias parejas y tríos de fichas: A-A, S-S, E-E, 0-0-0 y T-T-T. En sus propias palabras: “...la probabilidad de reconstruir la paridad necesaria debe rondar el 0,5, con lo que la presunta broma se convierte en un juego de cara y cruz”. Con esto termino mi reconocimiento a don Luis Benítez que, desde luego, está en lo cierto.

Esto me lleva a considerar los inevitables errores que se deslizan en los libros de este género. Desgraciadamente no se les puede dedicar toda la atención que uno quisiera. Solamente me queda el consuelo de ver que incluso en libros semejantes editados en Estados Unidos, en donde las tiradas son mucho mayores, lo que justificaría por tanto una elaboración más reposada de parte del autor, los errores existen igualmente. Por ello agradezco a mis lectores cuando me los señalan, lo que me sirve para aclararlos a la primera ocasión, en espera de corregirlos en futuras ediciones. En todo caso, espero que sean benévolos y comprendan que no hay libro sin errata.

Un segundo punto que quiero mencionar es la gran diferencia que existe entre la dificultad de unos y otros problemas. Los hay desde los que son una pura y simple broma, hasta el caso de los que presentan dificultad hasta para un buen matemático. Ello está hecho intencionadamente por dos razones: porque el público para este tipo de libros es reducido y conviene atraer a todos los que sientan interés, aunque su formación sea muy dispar, y porque creo que resulta conveniente que el lector encuentre estos —llamémosles— cambios de ritmo, para que la lectura resulte más amena. Si mi criterio es acertado o no, el tiempo y mis lectores lo dirán.

Finalmente, quiero agradecer a todos aquellos que me envían curiosas aportaciones, muchas de las cuales van apareciendo de una forma u otra en mis libros. Vale.

Después de publicados siete libros de problemas y anécdotas matemáticos, en los que con frecuencia han figurado los matemáticos griegos, me ha parecido oportuno empezar esta nueva obra con el único texto que nos ha legado la antigüedad acerca de la historia de la matemática pura. Se trata del prólogo del comentario de Proclo a los “Elementos” de Eucli- des. El texto, cuya traducción doy seguidamente, está tomado de la “Historia de la Geometría Griega”, del historiador francés Tannery. En ella muestra que el prólogo citado proviene de Géminus, quien nos trasmite sus recuerdos de la historia de las geometrías de Eudemo, un discípulo de Aristóteles. La traducción del texto de Proclo, tomada de la que hizo Tannery, es la siguiente:

a) «Conviene desde ahora hablar del origen de la geometría en el período actual, pues, como lo ha dicho el sobrehumano Aristóteles, los mismos pensamientos les son venidos en diversas ocasiones a los hombres, según ciertos períodos determinados del universo, y no es en nuestro tiempo, o en el que conocemos por la historia, cuando las ciencias se han formado por vez primera, sino que aparecen y a su vez desaparecen según los retornos de las revoluciones celestes, de las que no podemos determinar el número en el pasado ni para el porvenir. Solamente por el período actual debemos considerar el comienzo de las artes y las ciencias.

b) »Diremos que, según la tradición general, son los egipcios quienes han inventado la geometría, que ha nacido de la medida de los terrenos, que les era preciso renovar sin cese a causa de las crecidas del Nilo, que hacen desaparecer los límites de las propiedades.

c) »No debe sorprender que una necesidad práctica haya ocasionado la invención de esta ciencia o de las otras, puesto que todo lo que está sometido a la generación procede de lo imperfecto a lo perfecto; hay, pues, progreso natural de la sensación al razonamiento, de éste a la inteligencia pura. Del mismo modo que el conocimiento exacto de los números comenzó con los fenicios, como consecuencia del tráfico y de las transacciones a las que se dedicaban, la geometría ha sido inventada por los egipcios por la razón dada.

d) »Thales, el primero que estuvo en Egipto, contó esta historia en la Hélade; él mismo hizo varios descubrimientos y puso a sus sucesores en el camino de otros varios, por sus tentativas de carácter más bien general, después más limitadas a lo concreto.

e) »Después de él Mamercos (¿Mamertino?), hermano del poeta Stesichore es mencionado por haberse entusiasmado con la geometría, e Hippias de Elis cuenta que en ella logró una reputación.

f) »Después de ellos, Pitágoras transformó este estudio e hizo de él un enseñamiento liberal, pues se remontó a los principios superiores e investigó los teoremas en forma abstracta y mediante la inteligencia pura; a él se debe el descubrimiento de los irracionales y la construcción de las figuras del cosmos (los poliedros regulares).

g) »Tras él, Anaxágoras de Clazomeno se ocupó de diversas cuestiones geométricas, al igual que Enopide de Quios, un poco más joven que Anaxágoras; Platón, en sus “Rivales”, los menciona como matemáticos de reputación.

h) »Después se hicieron célebres en geometría: Hipócrates de Ouios, el inventor de la cuadratura de la lúnula, y Teodoro de Cirene. Hipócrates fue el primero que compuso “Elementos”.

i) »Después de ellos vivió Platón, que hizo que las matemáticas en general, y la geometría en particular, tuviesen un desarrollo inmenso, gracias al celo que mostró por ellas, y del que testimonian suficientemente sus escritos, todos llenos de discursos matemáticos y que, en cada instante, despiertan el entusiasmo por estas ciencias en aquellos que se dedican a la filosofía.

j) »Hacia la misma época vivieron Leodamas de Thasos, Arquitas de Taranto y Theeto de Atenas, que aumentaron el número de teoremas e hicieron de ellos un conjunto más científico; Neoclide (más joven que Leodamas) y su discípulo León, quienes ensancharon singularmente los conocimientos anteriores, de modo que León pudo componer “Elementos” muy superiores por el número y la importancia de las demostraciones; fue él quien inventó las distinciones de cuándo el problema buscado es posible y cuándo es imposible.