Talanquer - Fractus, fracta, fractal.

Hace unos 15 años se acuñó el término fractal para describir ciertas formas geométricas cuya estructura se repite en cada una de sus partes, y en las partes de sus partes. Hoy en día aparecen en la distribución de las estrellas de nuestra galaxia, en las irregularidades de una costa y en el latir de un corazón. Se ramifican en nuestro cuerpo en alvéolos y redes neuronales. Se dibujan en la evolución de los sistemas caóticos y constituyen la huella de fallas y fracturas. Una marca fractal señala la distribución de los epicentros de los temblores, la repetición de las palabras de un texto e incluso las fluctuaciones de precios en un mercado. Las reglas de la geometría fractal se emplean para crear, reproducir; almacenar y transmitir imágenes. Así han revolucionado en todos sentidos la manera en la que captamos la imagen del universo.

Pero, ¿qué es realmente un fractal?, ¿cuáles sus propiedades?, ¿cómo y dónde podemos identificarlo o constituirlo? Éstas son algunas preguntas que Vicente Talanquer responde en este texto utilizando ejemplos sencillos de las áreas de la física, la química y las matemáticas. El libro no sólo pretende que el lector descubra el mundo de los fractales, sino también que aprenda a recrearlo. Al respecto se han incluido algunos experimentos sencillos y la descripción de programas de computadora (en BASIC) que permiten reproducir la mayoría de las ilustraciones del texto. Con un ligero esfuerzo el libro servirá de guía para que el lector cree sus propios fractales.

Los fractales ofrecen una perspectiva distinta para describir y estudiar formas y sistemas complejos en la naturaleza. Así, resultan de gran interés para los físicos, biólogos, médicos y economistas. El lenguaje de la geometría fractal ha permeado el quehacer científico moderno y el libro intenta introducir el diccionario básico que necesitamos para comprenderlo.

Vicente Talanquer

Fractus, fracta, fractal.

Fractales, de laberintos y espejos

Título original: Fractus, fracta, fractal.

Vicente Talanquer, 1996

Terminar este libro hubiera sido imposible sin la estrecha colaboración de Glinda Irazoque y todos los estudiantes que participaron en el proyecto «Para Saber, Experimentar y Simular» apoyado por la DGAPA y la Facultad de Química de la UNAM. Gracias al Instituto Escuela y a sus alumnos de bachillerato por prestarse a demostrar que con los fractales sí se puede; a Ana Martínez por la lectura va, la lectura viene, y a Ivonne López Pla por el negocio mal pagado de las fotografías.

Cuando enfrentamos un problema por primera vez, cuando queremos comprender cómo funciona una cosa, normalmente hacemos simplificaciones. Es tan sencillo como considerar que, si estudiamos el movimiento de un cuerpo, conviene despreciar la fricción; que si la Tierra se desplaza alrededor del Sol, ojalá que su trayectoria forme un círculo. Recordemos por un instante el primer dibujo que hicimos de un atardecer en la playa: el Sol, redondo como plato; las montañas, triángulos; las gaviotas, dos arcos circulares.

Esta forma de comenzar a entenderse con el mundo que nos rodea es muy útil tanto si se hace ciencia como en la vida cotidiana; para qué complicarse más las cosas. Sin embargo, no siempre queda claro cuál sea el mejor camino para lograrlo. Por ejemplo, empeñarse en reproducir con todo detalle un paisaje boscoso utilizando tan sólo elementos de la geometría clásica (círculos, triángulos, esferas, etc.) es una tarea ardua y muchas veces improductiva. Cuando se está interesado en descubrir cómo surgieron las formas y estructuras tan diversas y complejas que encontramos en la naturaleza, uno se pregunta si no habrá otras maneras de representarlas.

Las figuras comunes de la geometría clásica o euclidiana no son las más adecuadas para generar formas complejas como la hoja de un helecho o el perfil de una montaña. Su limitación se debe a que tienden a perder su estructura cuando son ampliadas; un arco de círculo se transforma poco a poco en una recta; la superficie de una esfera se hace cada vez más plana. Esto no es precisamente lo que sucede con las formas naturales; por ejemplo, la superficie rugosa de una roca mantiene prácticamente la misma complejidad a varios niveles de amplificación con el microscopio. Si analizamos una parte de la roca, y dentro de ella otra más pequeña, y así sucesivamente, no por ello nos parecerá cada vez más lisa.

De la misma manera que con la roca, podríamos fijar la atención en el ramaje de un arbusto: de una rama salen muchas ramas y en cada una de ellas se repite el mismo esquema. La ampliación de una parte del original es muy similar al original mismo.

Si así son las cosas, ¿por qué no imaginar objetos geométricos que posean la misma propiedad pero llevada al extremo? Cuerpos que mantengan prácticamente la misma estructura en cada parte, así como en las partes de todas sus partes. En estas condiciones, al ampliarlos quizá no se conserven exactamente iguales, a lo mejor su ampliación resulta ser una versión distorsionada del original pero el esquema básico permanecerá, independientemente de cuántas veces se amplíen.

Es claro que tales objetos son más complicados que un círculo, un cono o una esfera; sin embargo, podemos servirnos de ellos para simplificar nuestros intentos de reproducir la realidad. Basta hacer a un lado la dificultad de la figura y buscar la facilidad en el método de trabajo; quizá así descubramos que detrás del nacimiento o la formación de un cuerpo complejo no necesariamente se esconde un mecanismo muy elaborado.

A este tipo de formas geométricas que, entre otras propiedades, contienen una imagen de sí mismas en cada una de sus partes, se le llama ahora fractales , y hace ya más de una década que inundaron el mundo científico con un conjunto de nuevas reglas para enfrentarse con el reto de conocer y describir la naturaleza. Su lenguaje se permeó a campos increíblemente diversos de las ciencias naturales y sociales, y ha hecho de las matemáticas un instrumento novedoso para las artes.

Las herramientas de la geometría fractal son, hoy día, elementos insustituibles en el trabajo de muchos físicos, químicos, biólogos, fisiólogos, economistas, etc., pues les han permitido reformular viejos problemas en términos novedosos, y tratar problemas complejos de forma muy simplificada. Las formas fractales, que durante mucho tiempo se consideraron meras «monstruosidades» geométricas e inaplicables divertimentos matemáticos, subyacen en fenómenos y estructuras tan variadas como la distribución de las estrellas del Universo, la ramificación alveolar en los pulmones, la frontera difusa de una nube, las fluctuaciones de precios en un mercado, y aun en la frecuencia de repetición de las palabras de este texto.

Hay fractales en los depósitos y agregados electroquímicos, y en la trayectoria de las partículas de polvo suspendidas en el aire. Fractales escondidos en la dinámica de crecimiento poblacional de colonias de bacterias, y detrás de todo flujo turbulento. Fractales en todas partes; fractales en una lista interminable de objetos reales que son testigos mudos de una enfermiza obsesión de la naturaleza.

Como entidades geométricas, los fractales tienen características peculiares. Imaginar curvas de longitud infinita que no se extienden en todo el espacio, o concebir un objeto con dimensión fraccional es el tipo de cosas que debemos estar dispuestos a enfrentar. Si la realidad es así, lo que debería asustarnos es lo que durante tanto tiempo concebimos como normal.

La geometría fractal ha generado su propio lenguaje con representaciones mudas de enorme contenido visual. En realidad, se trata de operaciones geométricas para rotar, trasladar, escalar y deformar cualquier figura a nuestro antojo. ¿Cómo funcionan? ¿Qué nos permiten hacer? ¿Qué se necesita para lograrlo?, son algunas de las preguntas que debemos responder: después ya será más fácil servirse de ellas con fines prácticos.