Karl R. Popper - La lógica de la investigación científica

Definición de dimensión de una teoría

(Cf. los apartados 38 y 39).

La definición que sigue debe considerarse sólo provisional: se trata de un intento de definir la dimensión de una teoría de modo que esté de acuerdo con la dimensión del conjunto de curvas que se obtiene cuando se representa el campo de aplicación de aquélla en un papel cuadriculado. Surge una dificultad por el hecho de que inicialmente no hemos de asumir que en dicho campo estén definidas ni una métrica ni siquiera una topología; en particular, no hemos de suponer que estén definidas relaciones algunas de vecindad. Y admito que con la definición que propongo, más que vencer esta dificultad lo que se hace es sortearla: lo cual es posible porque una teoría prohíbe siempre ciertos eventos «homotípicos», como los hemos llamado (esto es, una clase de acontecimientos que difieren solamente en sus coordenadas espacio-temporales; cf. los apartados 23 y 31), de modo que, en general, aparecerán coordenadas espacio-temporales en el esquema que da origen al campo de aplicación, y, en consecuencia, el campo de los enunciados relativamente atómicos manifestará tener —en general— un orden topológico, e incluso métrico.

La definición que propongo dice así. Se dice que una teoría t es «d-dimensional con respecto al campo de aplicación C» si y sólo si se cumple la siguiente relación entre t y C: existe un número d tal que, a) la teoría no choca con ningún acervo—d del campo, y b) cualquier acervo—d dado en conyunción con la teoría divide unívocamente todos los enunciados relativamente atómicos restantes en dos subclases infinitas, A y B, tales que se satisfacen las siguientes condiciones: α ) todo enunciado de la clase A unido conyuntivamente al acervo—d dado forma un «acervo d + 1 falsador», es decir, un posible falsador de la teoría; y β ) por otra parte, la clase B es la suma de una o más —pero siempre en número finito— subclases infinitas [Bi] tales que la conyunción de un número cualquiera de enunciados pertenecientes a una cualquiera de éstas [Bi], sea compatible con la conyunción del acervo—d dado y la teoría.

Con esta definición se pretende excluir la posibilidad de que una teoría tenga dos campos de aplicación tales que los enunciados relativamente atómicos de uno de ellos sean resultado de la conyunción de los enunciados relativamente atómicos del otro (lo cual ha de evitarse para que el campo de aplicación pueda ser identificado con el de su representación gráfica: cf. el apartado 39). Quizá convenga añadir que mediante esta definición se resuelve el problema de los enunciados atómicos (cf. la nota 2 del apartado 38) de una forma que podría llamarse «deductivista», ya que la misma teoría determina qué enunciados singulares son relativamente atómicos (con respecto a ella): pues el campo de aplicación se define a través de la teoría misma, y con él quedan definidos los enunciados que —debido a su forma lógica— gozan de igual estatuto con respecto a aquélla. Así pues, no resolvemos el problema de los enunciados atómicos descubriendo unos que tengan cierta forma elemental y a partir de los cuales se construyan inductivamente los otros enunciados compuestos —o se los componga por el método de las funciones veritativas—; por el contrario, los enunciados relativamente atómicos —y, con ellos, los enunciados singulares— resultan ser una especie de precipitado, o algo así como un depósito (relativamente) sólido, que se asienta a partir de los enunciados universales de la teoría.

Cálculo general de la frecuencia

en clases finitas

(Cf. los apartados 52 y 53).

Teorema general de multiplicación. Denotamos la clase finita de referencia con « α », y las dos clases de propiedades con « β » y « γ ». El primer problema que se nos plantea es el de determinar la frecuencia de los elementos que pertenecen tanto a β como a γ .

La solución está dada por la fórmula

o bien, puesto que β y γ pueden conmutarse,

Se obtiene la demostración de modo inmediato a partir de la definición dada en el apartado 52: sustituyendo en (1) de acuerdo con dicha definición, obtenemos

que manifiesta ser una identidad sin más que simplificar eliminando «N ( α . β )». (Compárese con esta demostración, y, asimismo, con la de (2s), Reichenbach, «Axiomatik der Wahrscheinlichkeitsrechnung», Mathematische Zeitschrift : 568-619, 1932, pág. 593.)

Si asumimos que existe independencia (cf. el apartado 53), esto es, que

llegamos, a partir de (1), al teorema especial de multiplicación:

Valiéndose de la equivalencia de (1) y (1’) puede demostrarse ahora la simetría de la relación de independencia (cf. también la nota 4 del apartado 53).

Los teoremas de adición se ocupan de los elementos que pertenecen a β o a γ . Si denotamos con el símbolo « β + γ » (en donde el signo «+», cuando está situado entre designaciones de clases, no significa la adición aritmética, sino el «o» no excluyente) la combinación disyuntiva de aquellas clases, el teorema general de adición es:

Su demostración se basa en la definición del apartado 52 y se apoya en la fórmula universalmente válida del cálculo de clases,

y en esta otra (también universalmente válida):

Bajo el supuesto de que α, β y γ no tengan ningún miembro común a las tres, supuesto que puede simbolizarse por la fórmula

llegamos, a partir de (2), al teorema especial de adición

Este teorema es válido para todas las propiedades que son propiedades primarias en una clase α , ya que éstas son mutuamente excluyentes; y la suma de las frecuencias relativas de las mismas es, naturalmente, igual a 1.

Los teoremas de división enuncian cuál es la frecuencia de la propiedad y dentro de una clase seleccionada a partir de α teniendo en cuenta la propiedad β . La fórmula general se obtiene inmediatamente por inversión de (1):

Si transformamos el teorema general de división (3), mediante el teorema especial de multiplicación, llegamos a

En esta fórmula reconocemos la condición (1s), y vemos, por tanto, que cabe describir la independencia como un caso especial de selección.

Los diversos teoremas asociados al nombre de Bayes son todos casos especiales del teorema de división. Bajo la asunción de que (α . γ ) sea una subclase de β, o en símbolos, que