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Uno puede interpretar la geometría como un juego. Todo juego posee reglas. ¿Cuáles son las reglas del juego geométrico? Podemos decir que las reglas de éste juego son dadas por los postulados y axiomas, es decir por las suposiciones más básicas y los procedimientos y acciones permitidas.
Editorial de la Universidad de Costa Rica
Primera edición, 1999
PREFACIO
Uno puede interpretar la geometría como un juego. Todo juego posee reglas. ¿Cuáles son las reglas del juego geométrico? Podemos decir que las reglas de éste juego son dadas por los postulados y axiomas, es decir por las suposiciones más básicas y los procedimientos y acciones permitidas.
En el fútbol, por ejemplo, se tiene 11 jugadores en cada equipo, dos porterías, algunos jugadores pueden tocar la bola con sus manos y otros no, también depende de ciertas condiciones cuándo se vale tocar la bola con la mano. A veces el árbitro pita por ejemplo “fuera de juego“ y se sabe que es porque se transgredió una regla.
Pues lo mismo sucede en la geometría. La geometría común que usted, estimado lector, conoce se llama euclidiana. Posee reglas muy precisas. Y lo usual es que las haya conocido y estudiado durante muchos años de su vida.
Se puede pensar qué pasaría si se cambia algunas de las reglas del fútbol. Por ejemplo, que todos los jugadores puedan tocar la bola con sus manos en cualquier lugar de la cancha, o que solamente se pueda usar el pie derecho y no el izquierdo. Evidentemente, el nuevo juego tendría algo de parecido con el fútbol pero ya no sería el mismo. Más parecería balonmano o rugby.
Ahora ¿qué pasaría si cambia algunas de esa reglas de la geometría? Es este el tipo de asuntos que vamos a tratar en este capítulo. Porque, precisamente, podríamos decir que las geometrías no euclidianas representan un cambio de algunas de esas reglas. El nuevo juego resulta diferente pero también contiene cosas similares.
En lo que sigue, vamos a conocer algunas de las geometrías que se generaron al cambiar algunos de los postulados clásicos de Euclides. Este no fue un proceso sencillo y fácil porque la geometría euclidiana ha estado asociada a lo que se ha creído es el espacio que nos rodea. Y cambiar una geometría así rompía y todavía rompe muchos de los esquemas mentales e ideas que poseemos.
Su historia es la historia de una de las más grandes revoluciones del pensamiento humano. Es apasionante. Debería recordarse como se recuerda la Revolución Francesa o el descubrimiento de América, y sin embargo la realidad es que pocas personas saben que existió esta revolución.
Este libro constituye esencialmente una reseña histórica e introductoria de las geometrías no euclidianas, pero también hemos querido dotarlo de algunos ejemplos o representaciones físicas (o visualizables) de las mismas. La primera parte está constituida por cuatro capítulos. El primer capítulo nos ofrece un recuento breve de los postulados y axiomas de la geometría euclidiana. El segundo capítulo recorre la historia del famoso quinto postulado, cuya negación fue responsable de la generación de las geometrías no euclidianas. En el tercer capítulo resumimos la obra de Gauss, Bolyai y Lobachevsky, los padres de este tipo de geometrías. En el capítulo cuarto describimos la evolución de las geometrías no euclidianas y especialmente dentro del marco de la geometría diferencial. Los capítulos quinto y sexto, que constituyen la segunda parte del libro, ofrecen representaciones visuales y físicas de las nuevas geometrías.
Este libro busca llenar una necesidad cultural y educativa en torno a la geometría y las matemáticas. Por sus características la geometría no euclidiana permite avanzar en la comprensión de la naturaleza de las matemáticas; en particular el sentido que en esta disciplina poseen las premisas, los axiomas, y la lógica. Pero, más importante, la historia de estas geometrías ofrece un ejemplo de cómo funciona la construcción matemática en la realidad, en donde las condiciones sociales, históricas e individuales ocupan un papel trascendental.
Para terminar este prefacio, deseo expresar mi agradecimiento a la Editorial de la Universidad de Costa Rica por su apoyo para la publicación de este libro.
Ángel Ruiz
Catedrático
Escuela de Matemática
Universidad de Costa Rica
9 de setiembre de 1997.
Capítulo I: UNA INTRODUCCIÓN
Al describir la historia de las matemáticas lo adecuado sería ofrecer una visión integral que incorporara las contribuciones matemáticas de otras culturas importantes además de la occidental; sin embargo, no es éste nuestro propósito en la presente reseña orientada a la comprensión de la creación de las geometrías no euclidianas. Así pues, vamos a comenzar este libro con el establecimiento de una periodización histórica, en general en concordancia con la historia de la sociedad occidental.
• Una primera etapa podemos decir que fue la grecoromana, donde la fase griega fue más sustantiva y significativa para las ciencias y las matemáticas.
• Una segunda etapa: la época medieval, dominada esencialmente por una atmósfera cultural poco propicia para el progreso de las ciencias y, por ende, un escaso desarrollo social y científico.
• Una tercera etapa: el Renacimiento, donde lo fundamental fue un cambio de actitud frente al conocimiento y frente a la vida.
• Una cuarta etapa fue la Revolución Científica en el siglo XVII y, si se quiere, parte del siglo XVIII.
• Podemos decir que una quinta etapa la constituye el trabajo realizado por los matemáticos del siglo XVIII y parte del XIX, cuya característica esencial fue el desarrollo de los temas y métodos matemáticos generados en la revolución matemática y científica del XVII, con especial énfasis en trabajos relacionados con el Cálculo Diferencial e Integral.
• Una sexta etapa se desarrolla en el siglo XIX, donde los elementos significativos fueron el desarrollo del álgebra y en particular de la teoría de grupos, la geometría proyectiva, las geometrías no euclidianas y la rigorización del análisis y las matemáticas en general.
Se puede decir que en algún momento en esta última etapa emerge la matemática moderna que llega hasta nuestros días. Es una decisión algo convencional el establecer los límites finales de una sexta etapa y el inicio de una séptima, con toda precisión, porque las principales tendencias que todavía dominan las matemáticas, de alguna forma, fueron planteadas y desarrolladas durante el mismo siglo XIX.
En este capítulo no ponemos énfasis en los resultados propiamente matemáticos sino, más bien, en lo aspectos históricos generales que nos permitan ubicar el trabajo de los matemáticos. Es decir, no hay detalles matemáticos solo descripción de fases y características históricas globales de interés especial para la comprensión del lugar intelectual que ocupan las geometrías no euclidianas.
1.1 EN LA ANTIGÜEDAD GRIEGA
Los primeros desarrollos de la geometría y, en general, de las matemáticas podemos decir que se encuentran alrededor de la cultura helénica, en la Grecia Antigua. Esta cultura fue una base esencial de la civilización occidental.
Thales y Pitágoras
Los primeros nombres de matemáticos que vienen a nuestra mente son los de Thales de Mileto (circa 625-545 a.C.) y Pitágoras de Samos (c. 580-500 a.C.), aunque no se sabe con exactitud cuáles son los resultados matemáticos que realmente obtuvieron. Probablemente, y a diferencia de otras obras como las de Platón (c. 429.348 a.C.) o Herodoto, no existen obras específicas que nos den certeza sobre sus trabajos y resultados.
