Morris Kline - El fracaso de la matemática moderna

«… ¡Gran Dios! Me gustaría ser

un pagano amamantado en un credo gastado.

Así podría…

tener visiones que me hiciesen menos desvalido.»

William Wordsworth

Echemos un vistazo a una clase de matemáticas modernas. La maestra pregunta:

—¿Por qué es 2 + 3 = 3 + 2?

Los estudiantes responden decididamente:

—Porque ambos son iguales a 5.

—No —reprueba la profesora—, la respuesta correcta es: porque se cumple la propiedad conmutativa de la suma.

La siguiente pregunta es:

—¿Por qué 9 + 2 = 11?

De nuevo los estudiantes responden a la vez:

—9 y 1 son 10 y 1 más son 11.

—Falso —exclama la profesora—. La respuesta correcta es que, por definición de 2, 9 + 2 = 9 + (1 + 1). Pero como se cumple la propiedad asociativa de la suma, 9 + (1 + 1) = (9 + 1) + 1. Ahora bien, 9 + 1 son 10, por definición de 10, y 10 + 1 son 11 por definición de 11.

Evidentemente, la clase no lo está haciendo muy bien, así que la maestra plantea una pregunta más sencilla:

—¿7 es un número?

A los estudiantes, desconcertados por la sencillez de la pregunta, les cuesta trabajo creer que es necesario responder; pero el hábito de la pura obediencia les lleva a responder afirmativamente. La maestra se horroriza.

—Si os pregunto quiénes sois, ¿qué responderíais?

Los estudiantes, ahora, responden con cautela, pero uno, más valiente, contesta:

—Yo soy Roberto Fernández.

La maestra le mira con incredulidad y le dice con tono de reprensión:

—¿Quieres decir que tú eres el nombre Roberto Fernández? Desde luego que no. Tú eres una persona y tu nombre es Roberto Fernández. Volvamos ahora a mi pregunta inicial: ¿7 es un número? ¡Claro que no! Es el nombre de un número. 5 + 2, 6 + 1 y 8 − 1 son nombres del mismo número. El símbolo 7 es un numeral del número.

La maestra se da cuenta de que los alumnos no aprecian la diferencia e intenta otro camino.

—¿Es el número 3 la mitad del número 8? —pregunta. Y se responde a sí misma—: ¡Desde luego que no! Pero el numeral 3 es la mitad del numeral 8, la mitad derecha.

Los estudiantes arden ahora en deseos de preguntar: «¿Qué es entonces un número?» Sin embargo, están tan desanimados por las respuestas equivocadas que han dado que ya no tienen ánimos para plantear la pregunta. Esto le viene muy bien a la maestra, porque explicar qué es realmente un número está más allá de su capacidad y también más allá de la capacidad de comprensión de los alumnos. Así que después de esto los alumnos tendrán cuidado en decir que 7 es un numeral, no un número. Pero nunca sabrán qué es un número exactamente.

Las tristes respuestas de los alumnos no arredran a la maestra, que pregunta:

—¿Cómo podremos expresar correctamente todos los números que hay entre 6 y 9?

—¡Toma! —responde uno de los alumnos—, pues 7 y 8.

—No —replica la maestra—. Es el conjunto de números, intersección del conjunto de números mayores que 6 y del conjunto de números menores que 9.

Así se enseña a los alumnos el uso de los conjuntos y, supuestamente, el de la precisión.

La maestra, que estando profundamente convencida del cacareado valor del lenguaje preciso, quiere preguntar a sus alumnos si un número de pirulíes es igual a uno de niñas, hace la pregunta en la forma siguiente:

—Hallad si el conjunto de pirulís está en correspondencia biunívoca con el conjunto de niñas.

No hace falta decir que no recibe ninguna respuesta de sus alumnos.

Cansada, pero no vencida, la maestra pregunta una vez más:

—¿Cuántas son 2 dividido por 4?

Un brillante estudiante dice sin dudar:

—Menos 2.

—¿Cómo has obtenido ese resultado? —pregunta la maestra.

—Bien —dice el alumno—, usted nos ha enseñado que la división es una substracción repetida. Yo resté 4 de 2 y saqué menos 2.

Podría parecer que los pobres chicos se habían hecho merecedores de algún descanso después de la escuela, pero no; los padres, ansiosos por conocer los progresos hechos por sus niños, también les preguntan. Un padre le pregunta a su hijo de ocho años:

—¿Cuántas son 5 + 3?

Por toda respuesta obtiene que 5 + 3 = 3 + 5, por la propiedad conmutativa. Asombrado, vuelve a preguntar:

—Pero, ¿cuántas son 5 manzanas y 3 manzanas?

El niño no comprende bien que «y» significa «más» y pregunta:

—¿Quieres decir 5 manzanas más 3 manzanas?

El padre se apresura a responder afirmativamente y espera atento.

—¡Oh! —dice el niño—, no importa si son manzanas, peras o libros; en cada caso, 5 + 3 = 3 + 5.

Otro padre, preocupado por los progresos de su hijo en aritmética, le pregunta cómo va.

—No muy bien —responde el niño—. La maestra se dedica a hablar de las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva. Yo hago las sumas bien, pero a ella no le gustan.

Estos ejemplos intrascendentes nos permiten ilustrar, y quizá caricaturizar, algunas de las características del ahora llamado plan de matemática moderna o de nueva matemática. Examinaremos sus características principales con mayor detalle en el momento oportuno y señalaremos sus ventajas y defectos. Pero antes revisaremos brevemente las «viejas» matemáticas y veremos qué defectos instaron al desarrollo de un nuevo plan.

«Le he dado un argumento, pero no estoy obligado a hacérselo comprender.»

Samuel Johnson

Aunque en los últimos años el plan de enseñanza tradicional en los Estados Unidos se ha visto algo afectado por el espíritu de reforma, sus características esenciales se pueden describir en pocas palabras. Los seis primeros cursos de la escuela primaria están dedicados a la aritmética. En los cursos séptimo y octavo los alumnos aprenden un poco de álgebra y elementos de geometría, como las fórmulas de áreas y volúmenes de las figuras más frecuentes. En el primer curso de secundaria se estudia álgebra elemental; en el segundo, geometría, y en el tercero, más álgebra (generalmente llamada álgebra intermedia) y trigonometría. Generalmente el cuarto curso de secundaria está dedicado a la geometría y el álgebra superior; sin embargo, sobre el trabajo del cuarto curso no hay tanta unanimidad como sobre el de los primeros.

Repetidamente se han expresado varias y serias críticas a este plan. La crítica más importante, que se dirige contra el álgebra en particular, es que impone un proceso mecánico y por tanto fuerza al alumno a confiar sobre todo en la memoria antes que en la comprensión.

Fácilmente se puede ilustrar la naturaleza de tal proceso mecánico. Pongamos un ejemplo de aritmética. Para hacer la suma de las fracciones 5/4 y 2/3, es decir, para calcular

los estudiantes saben que tienen que hallar el mínimo común denominador, es decir, el menor número al que 4 y 3 dividen exactamente. Este número es 12. Entonces al dividir 12 por 4 se obtiene 3 y este resultado se multiplica por el numerador de la primera fracción, 5. Igualmente se divide 12 por 3 y el resultado, 4, se multiplica por el numerador de la segunda fracción, 2. El resultado que se obtiene es la conversión de la suma anterior en una suma igual 15

Fácilmente se ve ahora que la suma es 23/12.

Un buen maestro no dudaría en hacer todo lo posible para ayudar a comprender la fundamentación de este proceso, pero, por lo general, el plan tradicional no presta mucha atención a la comprensión. Confía en la práctica para lograr que los alumnos hagan el proceso rápidamente.

Después que los alumnos han aprendido a sumar fracciones numéricas, se encuentran con una nueva dificultad cuando se les pide sumar fracciones en las que hay letras. Aunque se sigue el mismo procedimiento para calcular