Edward Frenkel - Amor y matemáticas

¿Qué sucedería si en clase de arte te enseñaran a pintar una verja? ¿O que jamás te mostraran una pintura ni te hablaran de la existencia de Van Gogh o Picasso? Pues así es como nos han enseñado las matemáticas. En este fascinante libro, uno de los matemáticos más brillantes del momento nos descubre el lado de las matemáticas que jamás hemos visto, barnizadas con toda la belleza y elegancia de una pieza de arte. Frenkel nos sumerge en una disciplina presente en el corazón de toda materia, que une culturas, tiempo y espacio. Y lo hace a través de dos historias, la de la evolución y los grandes hallazgos de las matemáticas, y, de forma paralela, la de su biografía personal, que le llevó de ser rechazado en la facultad de matemáticas de Moscú a convertirse en uno de los matemáticos más importantes del siglo XXI. Pero el libro no es sólo una apasionante historia de superación personal teñida de divulgación científica, sino que nos introduce en una nueva forma de pensamiento capaz de enriquecer nuestra vida personal y ayudarnos a entender mejor el mundo y el lugar que ocupamos en él. Es una invitación a descubrir la magia del universo escondido de las matemáticas.

Edward Frenkel

ePub r1.1

turolero 24.12.15

Título original: Love and Maths. The Heart of Hidden Reality

Edward Frenkel, 2013

Traducción: Joan Andreano Weyland

Revisión científica: Laura Sánchez Fernández

Editor digital: turolero

Aporte original: Spleen

Corrección de erratas: koothrapali

ePub base r1.2

EDWARD VLADIMIROVICH FRENKEL (Kolomna, Rusia, 1968). Es un matemático que trabaja en la teoría de la representación, la geometría algebraica y la física matemática. Profesor de matemáticas en la Universidad de California, Berkeley, miembro de la Academia Americana de las Artes y las Ciencias, y autor del exitoso libro Amor y Matemáticas.

De padre judío-alemán y madre rusa. Estudió matemáticas superiores en privado con Evgeny Evgenievich Petrov, a pesar de su interés inicial fue en la física cuántica en lugar de las matemáticas. No fue admitido en la Universidad Estatal de Moscú debido a la discriminación contra los judios y se inscribió en su lugar en el programa de Matemática Aplicada de la Universidad Gubkin de Petróleo y Gas. Mientras estudiaba allí, asistió al seminario de Israel Gelfand y trabajó con Boris Lwowitsch Feigin y Dmitry Fuchs. Después de recibir su título universitario en 1989, fue invitado primero en la Universidad de Harvard como profesor visitante, y un año después se matriculó como estudiante de posgrado en Harvard. Recibió su Ph.D. en la Universidad de Harvard en 1991, después de un año de estudio, bajo la dirección de Joseph Bernstein. Era un Junior Fellow en la Society of Fellows de Harvard desde 1991 a 1994, y se desempeñó como profesor asociado en la Universidad de Harvard de 1994 a 1997. Ha sido profesor de matemáticas en la Universidad de California, Berkeley desde 1997.

[15.1] Una representación del grupo de Galois en un grupo H es una regla que asigna a cada elemento del grupo de Galois un elemento de H. Debería satisfacer la condición de que si a, b son dos elementos del grupo de Galois y f(a), f(b) son los elementos de H asignados a ellos, al producto ab en el grupo de Galois se le debería asignar el producto f(a) · f(b) en H. Un nombre más apropiado para esto es el de homomorfismo del grupo de Galois en H.

[15.2] Para obtener un poco más de precisión al respecto, recordemos la noción de espacio vectorial n-dimensional de la nota 17 del capítulo 10. Como hablamos en el capítulo 2, una representación n-dimensional de un grupo dado es una regla que asigna una simetría Sg de un espacio vectorial n-dimensional a cada elemento g de este grupo. Esta regla ha de satisfacer la siguiente propiedad: para dos elementos cualesquiera del grupo, g y h, y su producto gh en el grupo, la simetría Sgh es igual a la composición de Sg y Sh . También se requiere que para todo elemento g tengamos Sg( + ) = Sg( ) + Sg ( ) y Sg(k · ) = k · Sa( ) para todo vector , y un número k. A estas simetrías se les llama transformaciones lineales; véase nota 2 del capítulo 14.

Al grupo de todas las transformaciones lineales invertibles de un espacio vectorial n-dimensional se le denomina grupo lineal general. Se escribe como GL(n). Así, según la definición del párrafo anterior, la representación n-dimensional de un grupo dado Γ es igual que una representación de Γ en GL(n), o un homomorfismo de Γ en GL(n); véase nota 1.

Por ejemplo, en el capítulo 10 hablábamos de la representación tridimensional del grupo SO(3). Cada elemento del grupo SO(3) es una rotación de la esfera, a la que asignamos la correspondiente rotación del espacio vectorial tridimensional que contiene la esfera (resulta ser una transformación lineal). Esto nos proporciona una representación de SO(3) en GL(3), o, de modo equivalente, un homomorfismo de SO(3) en GL(3). De modo intuitivo, podemos pensar en la rotación como en «actuar» sobre el espacio tridimensional, rotando cada vector en este espacio hacia otro vector.

En un lado de la relación Langlands (también conocida como correspondencia Langlands) observamos representaciones n-dimensionales del grupo de Galois. En el otro lado tenemos funciones automorfas que se pueden emplear para construir las llamadas representaciones automorfas de otro grupo GL(n) de simetrías del espacio vectorial n-dimensional, aunque no sobre los números reales, sino sobre lo conocido como adeles. No intentaré explicar qué son estos, pero el siguiente diagrama muestra esquemáticamente cómo sería la relación Langlands:

Por ejemplo, dos representaciones bidimensionales del grupo de Galois están relacionadas con las representaciones automorfas del grupo GL(2), que se pueden construir a partir de las formas modulares de las que hablamos en el capítulo 9.

Se obtiene una generalización de esta relación sustituyendo el grupo GL(n) por un grupo de Lie más general. Entonces, en el lado derecho de la relación tenemos representaciones automorfas de G