Gustavo Piñeiro - Cantor. El infinito en matemáticas

GUSTAVO ERNESTO PIÑEIRO (Buenos Aires, 1966) es un matemático y escritor argentino. Licenciado en Matemáticas, graduado en la Universidad de Buenos Aires en 1992.

Actualmente trabaja como docente en instituciones de nivel terciario y universitario, y desde hace varios años participa en la redacción de libros de texto para el nivel medio. También colabora habitualmente, tanto en revistas de divulgación científica como en otras dedicadas a los juegos de lógica e ingenio.

En 2009, junto a Guillermo Martínez, publica Gödel ∀ (para todos).

Título original: Cantor. El infinito en matemáticas

Gustavo Piñeiro, 2013

Diseño de cubierta: Skynet & Budapest

Editor digital: Skynet

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Cuando contemplamos el cielo en una noche estrellada y sin Luna, lejos de la interferencia de las luces de la ciudad, y nos sentimos maravillados por el espectáculo sobrecogedor que se despliega ante nosotros, en ese mismo momento desde lo más profundo de nuestro ser nace un sentimiento que nos abruma con la idea de lo pequeños que somos comparados con el infinito.

El infinito no es solo una sofisticada idea matemática; la dualidad entre lo infinito, palabra que literalmente significa «aquello que jamás termina», y su opuesto, lo finito, lo que sí acaba alguna vez, ha acompañado a la humanidad probablemente desde que el primer Homo sapiens se preguntó si el cielo termina alguna vez, si se puede llegar hasta el horizonte, o si nuestra vida realmente termina o si de alguna manera puede seguir indefinidamente.

Pero el infinito también es vértigo y, según el filósofo griego Zenón de Elea, hasta puede inmovilizar al universo; veamos qué queremos decir con esta idea. En el siglo VI a. C., Parménides de Elea —según muchos autores, el padre de la metafísica occidental— postuló la existencia del ser. La característica fundamental del ser, según Parménides, es, justamente, la de existir: el ser existe, el ser es.

De esta premisa Parménides dedujo que el ser abarca todo el universo, porque si hubiera aunque sea alguna pequeña región de este donde el ser no estuviera, en esa región el ser no existiría; pero decir que el ser no existe es una contradicción de términos, es imposible. El ser, entonces, ocupa todo el universo; en otras palabras, el universo entero, nosotros incluidos, constituye el ser. Pero además, el ser es inmutable, no puede cambiar, porque si pasara, digamos, de un estado A a un estado B, entonces dejaría de existir en el estado A, y eso es imposible, porque el ser no puede dejar de existir. El ser es, en consecuencia, todo el universo, y es inmutable; por lo tanto, el universo es inmutable. Esto significa que el cambio y el movimiento que creemos ver a nuestro alrededor en realidad no existen; el tiempo no existe, en el ser no hay pasado ni futuro, solamente hay ahora.

Zenón, discípulo de Parménides, planteó una serie de razonamientos, conocidos como las paradojas de Zenón, con los que intentó demostrar, en respaldo de las ideas de su maestro, que el cambio y el movimiento no existen, que lo que creemos ver no es más que un engaño de los sentidos, y que la mente y la razón, guiadas por la lógica, son capaces de demostrar este hecho.

Todas las paradojas de Zenón involucran el infinito de algún modo; una de ellas dice que si arrojamos una piedra hacia un árbol que está a un metro de distancia delante de nosotros, entonces, contrariamente a lo que la vista parece mostrarnos, la piedra jamás llega al árbol; de hecho, jamás abandona nuestra mano.

Para demostrarlo, Zenón decía que antes de llegar al árbol la piedra debe recorrer primero medio metro; pero antes de eso, debe recorrer un cuarto de metro; y antes debe recorrer un octavo de metro; y antes, un dieciseisavo de metro; y así sucesivamente. En realidad, para llegar al árbol la piedra debe completar una cantidad infinita de pasos previos, pero es imposible completar infinitos pasos en un tiempo finito; por lo tanto, deduce Zenón, la piedra jamás llega al árbol. Más aún, el mismo razonamiento que hemos hecho para una distancia de un metro, vale también para el primer milímetro o la primera milésima de milímetro; por lo que la piedra, en realidad, tal como dijimos antes, nunca abandona nuestra mano. El infinito, como se ha expuesto, permite demostrar, según Zenón, que el universo es inmutable.

En el siglo IV a. C., Aristóteles —el padre del estudio sistemático de la lógica y tal vez de la ciencia en general— escribió su Física, un tratado que contiene, entre otras cuestiones, un estudio del movimiento de los cuerpos; pero, desde luego, antes de estudiar el movimiento Aristóteles debía demostrar que ese movimiento realmente existe; es decir, debía refutar los argumentos de Parménides y de Zenón.

Si el ser esencialmente es, ¿cómo puede entonces cambiar de estado, cómo puede dejar de ser algo? Aristóteles dice que el