Euclides - Elementos

[1] Cf. las pruebas recordadas por Aristóteles que se encuentran en T. L. Heath , Mathematics in Aristotle, Nueva York-Londres, 1949, reimp. 1980. Sobre las contribuciones de la tradición matemática anterior, vid. W. R. Knorr , The Evolution of the Euclidean Elements, Dordrecht-Boston, 1975; D. H. Fowler , The Mathematics of Plato's Academy, Oxford, 1987. En I. Thomas , ed., Selections of Greek Mathematics, Londres-Cambridge (Mass.), 1939 (19673) hay algunos textos significativos en versión bilingüe (griego-inglés). Las referencias al Comentario de Proclo se atienen a G. Friedlein , ed., Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, Leipzig, 1873 (reimp. 1967); suele ser más accesible la versión de G. Morrow , Proclus. A Commentary ort the First Book of Euclid’s Elements, Princeton, Nueva Jersey, 1970.

[2] Cf., por ej., F. O. Hultsch , «Eukleides», en la Pauly-Wissowa, Realencyclopädie der klassischen Altertumswissenschaft, Stuttgart, 1909 (reimp. 1970), VI 1. col. 1004; 1. Bulmer-Thomas, «Euclid. Life and Works», en Ch. C. Gillispie , dir., Dictionary of Scientific Biography, IV, Nueva York, 1970-1980, (reimp. 1981), pág. 415. En P. M. Frazer , Ptolemaic Alexandria, Oxford, 1972, I, págs. 386-388; II, nota 82, puede verse una discusión al respecto.

[3]Vid. J. Itard , Les livres arithmétiques d’Euclid, París, 1961, pág. 11; «Euclid», en Encychpaedia Universalis. Corpus. 7, París, 1985, pág. 518. Cf. G. Kayas, ed., Euclide. Les Éléments, París, 1978, Introd., págs. xi- xvi.

[4]Vid. T. L. Heath , ed., The Thirteen Books of Euclid’s Elements, Londres, 19262. (reimp. Nueva York. 1956) I, págs. 10-15. Bulmer-Thomas , art. cit., 1981, pág. 42, opina, como Heath, que esta obra podría haber sido el primer tratado sobre geometría proyectiva de que hubiera noticia, C. B. Boyer , Historia de la matemática, Madrid, 1986, pág. 142, considera que podría haber representado una aproximación a un tipo de geometría analítica.

[5] Para más detalles sobre las obras de Euclides, aparte de los Elementos, vid. la ed. capital de J. L. Heiberg - H. Menge , Euclidis opera omnia, Leipzig, 1883-1916. vols. VI-VIII. Hay referencias en la ed. cit. de Ηεατη, 19262, 1, págs. 7-18, así como en su A History of Greek Mathematics, Londres, 1921 (reimp. Nueva York, 1981), vol. I, págs. 421-446. También tienen interés las breves indicaciones de I. Bulmer-Thomas, art. cit., 1981, págs. 425-431.

[6]Vid., por ej., W. Burkert , «Stoicheion. Eine semasiologische Studie», Philologus CIII (1959), 167-197.

[7] Puede que los griegos no advirtieran tanta diferencia como nosotros entre un tipo y otro de criterios. Platón ya aludía al «lógos que se escribe con la ciencia en la mente del que aprende y es capaz de defenderse a sí mismo» (Fedro 276a); más aún, según Aristóteles , los silogismos didácticos [ didaskalikoí ]de los Tópicos no son otros que los demostrativos [ apodeiktikoi ] de los Analíticos, vid. Refutaciones sofisticas 2 165bl-4 y 8-9. En lo sucesivo y por lo regular, mencionaré los títulos de Aristóteles por sus abreviaturas habituales, e. g., RE (Refutaciones sofisticas), APr. (Primeros Analíticos), APo. (Segundos Analíticos), etc.

[8] Ni siquiera es perceptible un efecto directo de los problemas de la infinitud y del continuo suscitados por la dialéctica eleática y por la discusión cosmológica posterior.Vid. W. R. Knorr , «Infinity and continuity; the interaction of mathematics and philosophy in antiquity», en N. Kretzmann , ed., Infinity and Continuity in Ancient and Medieval Thought, Ithaca, Nueva Jersey, 1982, págs. 112-145. Cabe apreciar algún eco de las aporías cosmológicas en algunas nociones explicitadas por Euclides en la cabecera «axiomática» de los Elementos, vid., e. g., V. Vita , «L'infinito matematico in Aristotele e nel suo tempo», Boll, di Storia delle Scienze Matematiche VI - 2 (1986), 109-132. Pero no hay indicios de que tales aporías filosóficas o dialécticas determinaran o cuestionaran el curso de la geometría de modo parecido a como influyeron en ciertas posiciones filosóficas acerca de la matemática o en el curso de la propia filosofía natural; antes bien, las nociones y proposiciones geométricas solían considerarse como un fondo de datos o resultados disponibles en orden a la resolución de ciertos problemas cosmológicos, vid., por ej., Aristóteles , Física VI 2, 233a32-bl5. También es errónea, amén de simplista, la interpretación de los Elementos sugerida por Popper: se habrían concebido justamente como respuesta a un problema y tal problema no habría sido sino de orden cosmológico (vid. K. R. Popper , «The cosmological origins of Euclidean geometry», en I. Lakatos , ed., Problems in the Philosophy of Mathematics, Amsterdam, 1967, págs. 18-20). En L. Vega , La trama de la demostración (Los griegos y la razón tejedora de pruebas), Madrid, 1990, I, §§ 2-4, se discuten diversos aspectos críticos de esa presunta influencia dialéctica o filosófica sobre el desarrollo de las matemáticas. En fin, sobre el interés de Proclo en presentar a Euclides como un platónico convencido, vid. D. J. O’Meara , Pythagoras revived. Mathematics and Philosophy in Late Antiquity, Oxford, 1989, págs. 170-176 en particular.

[9] De creer a Platón, en su tiempo podían resolver este problema hasta los esclavos que no habían recibido la menor instrucción en geometría con tal de que fueran griegos o hablaran griego —esto al menos pretende demostrar Menón 82b-85b—. Así pues, no tendrán las bendiciones de Platón quienes excluyan de un curriculum la opción matemáticas + griego, como combinación disparatada, o mantengan el hábito de las dos (inculturas: ciencias/letras (—Graeca sunt? Non leguntur. —Mathematica? Non intelliguntur).

[10]Vid. P. Tannery , La géométrie grecque. 1ª Partie: Histoire de la géométrie élémentaire, París, 1887, Hildesheim-Zurich-Nueva York, (reimp. 1988); G. A. Aliman, Greek Geometry from Thales to Euclid, Nueva York, (reimp. 1976); G. Cambiano, «Il metodo ipotetico e la origine della sistemazione euclidea della geometria», Rivista di Filosofia 58 (1967), 115-149; W. R. Knorr, The Evolution…, op. cit., 1975; The Ancient Tradition of Geometric Problems, Boston, 1986; L. Vega, La trama de la demostración…, op. cit., 1990, I, § 3; IV, § 1. En el ya citado I. Thomas, ed., Selections of Greek Mathematics, 1939, 19673, pueden verse textos y testimonios al respecto; de esta compilación han partido las versiones y comentarios, a veces un tanto sui generis, de J. D. García-Bacca , Textos clásicos para la historia de las ciencias, I, Caracas, 1961.

[11] No obstante, cabria reparar en cierta afinidad entre la prueba de los problemas y el uso de los postulados, así como entre la demostración de los teoremas y el uso de las definiciones. Pero su significación no se puede exagerar (por ejemplo, en la línea de una relación entre los postulados y las cuestiones de «existencia» matemática como la sugerida por H. G. Zeuthen , «Die geometrische Construction als “Existenzbeweis” in der antiken Mathematik», Mathematische Annalen 47 (1896), 222-228; cf. W. R. Knorr : «Construction as existence proof in ancient Geometry», Ancient Philosophy, 3 (1983), 125-148. Por lo demás, la distinción entre los problemas y los teoremas tampoco representa una distribución cabal del conjunto de las proposiciones de los Elementos: hay proposiciones que envuelven rasgos característicos de ambas «categorías» y las hay que parecen discurrir con independencia de una y otra.