Florian Cajori - Historia de los argumentos de Zenón sobre el movimiento

FLORIAN CAJORI (28 de febrero de 1859 - 15 de agosto de 1930),​ fue uno de los más célebres historiadores de las matemáticas en su día.

Emigró desde Suiza a los Estados Unidos cuando tenía dieciséis años. Recibió sus títulos de licenciado y magíster en la Universidad de Wisconsin. Enseñó durante algunos años en la Universidad de Tulane, antes de ejercer como profesor de matemáticas aplicadas en ese lugar en 1887. Después se trasladó al norte debido a una tuberculosis, fundando posteriormente la Colorado College Scientific Society y dedicándose a la docencia en la Universidad de Colorado. En ese lugar desempeñó en distintas épocas la cátedra de física, la cátedra de matemáticas, y el decanato del departamento de ingeniería. Mientras estaba en Colorado, recibió su doctorado desde Tulane en 1894.

Título original: The History of Zeno’s Arguments on Motion: Phases in the Development of the Theory of Limits

Florian Cajori, 1915

Traducción: Eliza Zacarías

Diseño de cubierta: Skynet

Editor digital: Skynet

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[1] Diógenes Laercio, IX, 72, quien vivió 500 años después de Aristóteles, probablemente alrededor de 200 d. C. dio una versión diferente de la «flecha»: «Aquello que se mueve no puede moverse en el lugar donde está, ni en el lugar donde no está». Este argumento está explicado por Williams Minto, profesor de lógica en la Universidad de Aberdeen, en su Logic, Inductive and Deductive, Londres, 1893, p. 224, y por W. R. Royce Gibson en su libro The Problem of Logic, Londres 1908, p. 290, como sigue:

«Si un cuerpo se mueve, debe moverse donde está o donde no está. Pero un cuerpo no puede moverse donde está, ni tampoco puede moverse donde no está. “Por lo tanto, no puede moverse en absoluto, i. e. el movimiento es imposible”. Esta versión de la “flecha” debe desecharse por dos razones: Primera, aparece por primera vez alrededor de 700 años después de Zenón y por esta razón no es digna de confianza; segunda, no hay núcleo para la discusión. Como dice Gibson, se resume a esto: “Si un cuerpo se mueve, se debe mover bajo condiciones que hacen posible el movimiento”».

[2] N. del T.: En este trabajo tradujimos actual infinite como «infinito actual» y potential como «infinito potencial». Lorite Mena explica la teoría de Aristóteles del acto y la potencia así: «Existir, para toda realidad (puesto que se trata de principios ónticos) es actualizarse (enérgeia) —en el sentido de apropiarse de, de poseerse en— sus potencialidades (dynamis). Esta auto-apropiación del ser por lo que puede ser, esta auto-identificación de cada realidad en la apropiación de sus potencias, está expresada con toda precisión por el término que delimita el principio fundamental de la existencia: entelécheia» (El «Parménides» de Platón, un diálogo de lo indecible, Universidad de los Andes, F.C.E., Bogotá, 1985, p. 84).

B. Delfgaauw, en su Historia de la filosofía (Beknopte Geschiedenis der Wijsbegeerte, trad. española del original neerlandés por Francisco Carasquer, Ediciones Carlos Lohlé, Buenos Aires, 1966, p. 40) dice: «Los términos potencia (dynamis) y acto (enérgeia) prestan a la filosofía de Aristóteles una temática sumamente interesante. En todos los seres hay un principio potencial y otro actual, es decir, un principio de posibilidad y otro de realidad. Todos los seres se encuentran, por consiguiente, entre dos polos: la materia prima, que solo es potencia y por lo mismo no puede ser real al estar privada de forma, y el acto puro, que no encierra potencia alguna en absoluto, que es a lo que a veces llama Aristóteles, Divinidad. Esta composición de potencia y acto explica la variabilidad y la realidad de los seres».

[3] Este pasaje obviamente significa que el plano cortante está infinitamente cerca de la base del cono.

[4] De acuerdo con otro comentarista, Temistio (317-387 d. C.), Antifón comienza su proceso de cuadrar el circulo inscribiendo un triángulo equilátero y no un cuadrado.

[5] Robert Grosseteste (c.a 1175-1253), obispo de Lincoln, o quien Roger Bacon considera como un científico de alto rango, da un resumen de lo que trata cada uno de los ocho libros de la Física de Aristóteles. La estima en la que se tenían sus escritos se nota en el hecho de que su resumen de Aristóteles fue reproducido cuatro siglos después de su muerte en una edición de Aquino. Grosseteste dice de los argumentos de Zenón (p. 352): Ad primum dicitur (sicut prius dictum est iddubitotione praecedenti) scilicet quod continuum est infinitum secundm potentiam & tale potest transiri. Et sic patet ad secundam rationem. Ad tertium dicitur quod Zeno dixit ipsum tempus componi ex instantibus, quod non est verum, ideo nec motus nec quies est in instanti, sed in tempore [sicut dixit Philosophus] uleo mobile non est spacio sibi aequali nisi tantum in instanti. Et cum dicitur, aut movetur, aut quiescit, negatur propositio, quia habet veritatem de es quod est in aliquo in quo aptum natum moveri aut quiescere pro tali mensura temporis.

[6] Siguiendo lo acostumbrado en sus tiempos, Galileo considera solamente una raíz de un número positivo, o sea la raíz principal.

[7] «del cual, Gregoire de Saint Vincent hizo ver la falsedad».

[8] Esta proposición fundamental demostrada por Galileo (que no podríamos admitir una sucesión o series realmente compuestas de un número infinito de términos), se aplica igualmente a una serie de términos o de objetos que existieron. Cauchy estuvo muy influenciado sobre este tema por los escritos de Gerdil.

[9] (N. del T.) Textualmente dice «The actual ifinite cannot be realized»

[10] (N. del T.) Textualmente dice «becoming»

[11] En relación con esto puede ser de interés una anécdota relatada por De Morgan. Cuenta que «a un legendario profesor de Cambridge una vez le preguntaron, en una discusión matemática, “Supongo que usted admitirá que el todo es mayor que su parte” y él respondió, “yo no, hasta no ver qué uso va usted a hacer de ello“». El peligro de las implicaciones inintencionadas está ilustrado por un autor que observaba que Gibbon siempre tenía una copia de Horacio en su bolsillo y frecuentemente en su mano, de lo cual parecía deducirse que la mano de Gibbon a veces estaba en su bolsillo.

Este ensayo fue publicado en 1915 en la revista American Mathematical Monthly y en él, el historiador Cajori realiza un análisis histórico de los argumentos de Zenón sobre el movimiento. Yendo desde Aristóteles; pasando por Hobbes, Leibniz, Newton; hasta llegar a las ideas post-cantorianas.

Florian Cajori

Fase en el desarrollo de la teoría de límites

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Skynet 27.06.2019

HISTORIA DE LOS ARGUMENTOS DE ZENÓN SOBRE EL MOVIMIENTO

Fases en el desarrollo de la teoría de límites.

Por Florian Cajori, Colorado College.

I

El propósito de los argumentos de Zenón

Entre las cuestiones sobre los fundamentos de las matemáticas, las más antiguas y que han mantenido el interés de los investigadores desde la antigüedad hasta las más recientes especulaciones de la filosofía de las matemáticas, son los argumentos de Zenón sobre el movimiento. Zenón floreció en el siglo V a. C., pero solo recientemente G. Cantor en su Mengenlehre se ha dedicado a la elucidación completa de las paradojas de Zenón. La historia de estas paradojas es en gran medida la historia de los conceptos de continuidad, de infinito e infinitesimal.