Adrián Paenza - Matemática… ¿estás ahí?

ADRIÁN PAENZA (Buenos Aires, 9 de mayo de 1949) . Es Licenciado en Ciencias Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales UBA 1970. Doctor de Ciencias Matemáticas, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales UBA 1979. Profesor adjunto regular del Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UBA. 1979-1986. Profesor asociado regular. Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales UBA 1986-1997. Tesis doctoral. «Propiedades de Corrientes Residuales en el caso de intersecciones no completas», 1979.

Posee una gran trayectoria en los medios televisivo, radial y gráfico. Fue redactor de la Revista Veintiuno, entre otras, y actualmente colabora con algunas notas en Veintitres y revista TXT. Fue co-conductor de Fútbol de Primera. Fue conductor de Lo mejor de la NBA. Fue columnista de Día D y Detrás de las noticias. Fue conductor de Periodistas. Actualmente conduce Científicos, Industria Argentina, programa ganador del Martín Fierro 2003 en el rubro cultural/educativo.

Dedico este libro a mis padres, Ernesto y Fruma, a quienes les debo todo. A mi querida hermana Laura A mis sobrinos: Lorena, Alejandro, Máximo, Paula, Ignacio, Brenda, Miguelito, Sabina, Viviana, Soledad, María José, Valentín, Gabriel, Max, Jason, Whitney, Amanda Jonathan, Meagan y Chad. A Carlos Griguol. Y a la memoria de mis tías Elena, Miriam y Delia, así como a las de Guido Peskin, León Najnudel, Manny Kreiter y Noemí Cuño.

Título original: Matemática… ¿estás ahí?

Adrián Paenza, 2005

Retoque de cubierta: Mariana Nemitz

Editor digital: Titivillus

Corrección de erratas: r1.2 heutorez

ePub base r2.1

[1] Esta es una frase que vi hace muchos años en el paragolpes trasero de un automóvil en Estados Unidos: «Great people talk about ideas, average people talk about things, small people talk… about other people.»

[2] Como se verá más adelante, los números primos son aquellos que sólo son divisibles por uno y por sí mismos.

[3] Excluí adrede el caso en que el precio del oro permanece igual en la apertura y en el cierre, porque para el ejemplo es irrelevante. Ustedes podrían decir en sus mensajes a algunos que el precio del oro subirá o permanecerá constante, y al otro grupo que bajará o permanecerá constante. Si el precio del oro queda quieto, repiten el proceso sin dividir por dos. Es como hacer de cuenta que ese día no existió. Y por otro lado, si ustedes pueden conseguir una base de datos más grande que 128.000, sigan adelante. Tendrán más clientes a los diez días.

[4] Se llama hipotenusa de un triángulo rectángulo, al lado de mayor longitud. A los otros dos lados se los llama catetos.

[5] Al símbolo. lo usaremos para representar «multiplicación» o «producto».

[6] Para convencerse de esto, observe que N > pn 2 + 1, y esto es suficiente para lo que queremos probar.

[7] En realidad, haría falta una demostración de este hecho, pensemos que si un número no es primo es porque tiene más divisores que uno y él mismo. Este divisor que tiene es un número menor que el número y mayor que uno. Si este divisor es primo, el problema está resuelto. Si en cambio este divisor no es primo, repetimos el proceso. Y como cada vez vamos obteniendo divisores cada vez más chicos, llegará un momento (y esto es lo que prueba una demostración más formal) en que el proceso se agote. Y ese número al cual uno llega es el número primo que estamos buscando.

[8] Haber elegido el número 7 como divisor del número N es sólo para poder invitarlos a pensar cómo es el argumento que se usa, pero claramente hubiera funcionado con cualquier otro.

[9] Esto que hemos hecho suponiendo que 19 era el primo más grande fue sólo como un ejemplo que debería servir para entender el razonamiento general que está expuesto más arriba, en donde el número primo pn es el que hace el papel del 19.

[10] Ayuda: el primero sería, por ejemplo, 101! + 2. Luego, 101! + 3, 101! + 4,…, 101! + 99, 101! + 100 y 101! + 101. Por supuesto, éstos son números consecutivos. ¿Cuántos son? Hagan la prueba y averígüenlo. Además, son todos compuestos —o no primos— ya que el primero es múltiplo de 2, el segundo es múltiplo de 3, el tercero es múltiplo de 4… y así siguiendo. El último es múltiplo de 101.

[11] A partir de ahora, voy a usar los primeros dígitos del desarrollo decimal de cualquier número que aparezca en el texto. En este caso, el número (1+1/3)3 no es igual a 2,37037037, sino que es una aproximación o redondeo que usa los primeros nueve dígitos.

[12] Este número tiene un desarrollo decimal infinito y pertenece a la misma categoría que el número π (pi), en el sentido de que, además de irracionales, son números trascendentes (dado que no son la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros).

[13] El conjunto vacío es el único que tiene «cardinal» cero. Esto, para salvar el «bache» lógico que se generaría, ya que como el «conjunto vacío» no se puede «aparear» con ningún segmento natural, entonces, no sería «finito». Luego, sería «infinito». Ese obstáculo lógico se salva o bien excluyendo al «vacío» de la discusión o bien, como elijo hacer, diciendo que el «conjunto vacío» es el único que tiene «cardinal cero».

[14] Es más: en algunos libros se da como definición de conjunto infinito a un conjunto que tiene subconjuntos propios (o sea, que no son todo el conjunto) coordinables con el todo.

[15] Aquí conviene decir que los números reales consisten en la unión del conjunto de los racionales y el de los irracionales (o sea, los que no son racionales).

[16] Para poder usar este argumento hay que saber que la escritura decimal de un número es única, pero se requeriría el uso de una herramienta un poco más sutil

[17] El número 0,0999999… y el número 0,1 son iguales. Es decir, para que dos números racionales sean iguales, no es necesario que lo sean dígito a dígito. Este problema se genera cada vez que uno «admite» que haya «infinitos» números nueve en el desarrollo decimal. Para que la «construcción» que hice del número que «no figura» en la lista sea estrictamente correcta, hay que elegir un número que sea diferente de 0,1 y de 9 en cada paso. Eso «evita», por ejemplo, que si uno tiene el número 0,1 en la lista, y empieza poniendo un 0 en el lugar 0,1 y luego elige siempre números 9, termina por construir el mismo número que figuraba en el primer lugar.

[18] Este argumento ya lo utilicé en el capítulo sobre los diferentes infinitos de Cantor.

[19] Excluyo los segmentos que contienen un solo punto, lo que podríamos llamar un segmento degenerado [A,A]. Este segmento contiene un solo punto: A.

[20] Santaló fue uno de los geómetras más importantes de la historia. Nació en España, pero escapando de la guerra civil española, pasó la mayor parte de su vida en la Argentina. Fue un verdadero maestro y sus contribuciones tanto personales como profesionales son invalorables.

[21] En mayo de 2005, anda dando vuelta una potencial demostración de esta conjetura, pero aún no ha sido oficialmente aceptada por la comunidad matemática.

[22] Esta historia me la envió Gerardo Garbulsky, un ex alumno y muy buen amigo mío. Gerry siempre tuvo un ojo atento y sensible para la ciencia y sus aplicaciones, y gracias a él supe de esta historia.

[23] Hay una excelente biografía de Russell (The Life of Bertrand Russell —La vida de Bertrand Rusell— publicada en 1976 en la que aparece una pintura perfecta de esta personalidad del siglo XX ).