Lluís A. Santaló - La matemática: una filosofía y una técnica

El número π , razón de la circunferencia al diámetro, es, seguramente, el número más importante de la matemática. Su conocimiento, que data de los primeros tiempos del saber matemático, fue mejorando con el tiempo. De hecho, se puede considerar la precisión acerca de su conocimiento como un índice del estado de la matemática en cada época.

He aquí una exposición cronológicamente ordenada de los valores que se han ido atribuyendo a este número con el paso del tiempo:

Siglo:

— XX (babilonios) = 25/8 = 3,125

— XX (egipcios) = (16/9)2= 3,160…

— XX (chinos) = 3

— VI (Biblia, Libro de los Reyes, 7, 23) = 3

— II, Arquímedes = 211875/67441 = 3,14163…

— II, Claudio Ptolomeo = 377/120 = 3,14166…

— II (chinos, hindúes) = √ = 3,1672…

= 142/45 = 3,1555

= 157/50 = 3,14

Año:

— 1573, Valentin Otho = 355/113 = 3,1415929…

— 1687, Newton, calcula 16 decimales exactos

— 1706, J. Machin, por desarrollo en serie del arco tangente, calcula 100 decimales

— 1794, Vega, calcula 140 decimales

— 1855, Richter, calcula 500 decimales

— 1873, William Shanks, calcula 707 decimales.

Este número se mantiene hasta la aparición de las computadoras electrónicas. A partir de ese momento, el número de las cifras decimales que se calculan crece rápidamente:

— 1949, se conocen 2.037 decimales

— 1954, se conocen 3.189 decimales

— 1959, se conocen 16.167 decimales

— 1961, se conocen 100.000 decimales

— 1966, se conocen 250.000 decimales

— 1967, se conocen 500.000 decimales

— 1989, se conocen mil millones de cifras decimales.

A partir de estos mil millones de cifras decimales se comprueba que, hasta ellas, el número π es normal, es decir, que todas las cifras aparecen en él con la misma frecuencia, e, incluso, absolutamente normal, o sea, que cualquier grupo de cifras aparece en su desarrollo (grupos de número no excesivamente grande, no obstante). Este hecho experimental confirmaría que se trata de un número normal, e incluso absolutamente normal, en el sentido de Borel. Aunque se sabe que es casi seguro de que es así (probabilidad 1), el hecho todavía no ha sido demostrado.

En 1882, Lindemann demostró que π es un número trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros.

Historia de la aeronáutica, Espasa Calpe Argentina, Buenos Aires, 1946.

Geometría Integral (en colaboración con J. Rey Pastor), Espasa Calpe Argentina, Buenos Aires, 1951.

Introduction to Integral Geometry, Hermann, París, 1953. (Traducido al ruso.)

La probabilidad y sus aplicaciones, Iberoamericana, Buenos Aires, 1955.

Geometría Analítica (en colaboración con J. Rey Pastor y Balanzat), Kapelusz, Buenos Aires, 1955.

Vectores y tensores, EUDEBA, Buenos Aires, 1961.

Geometrías no-euclidianas, EUDEBA, Buenos Aires, 1961.

Geometría proyectiva, EUDEBA, Buenos Aires, 1966.

Espacios vectoriales y Geometría Analítica, monografías de la OEA, Washington, 1965.

La matemática en la escuela secundaria, EUDEBA, Buenos Aires, 1966.

Probabilidad e inferencia estadística, monografías de la OEA, Washington, 1970.

Evolución de las ciencias en la República Argentina, vol. I, La Matemática (en colaboración con otros autores), Sociedad Científica Argentina, Buenos Aires, 1975.

Geometría Espinorial, Instituto Argentino de Matemática, CONITECT, Buenos Aires, 1976.

Integral Geometry and Geometric Probability, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Addison-Wesley, Reading, 1976. (Traducido al ruso.)

La educación matemática, hoy, Teide, Barcelona, 1975.

La enseñanza de la matemática en la Escuela Media, Docencia, Buenos Aires, 1981.

LA MATEMÁTICA:

TÉCNICA, ARTE, FILOSOFÍA Y CIENCIA

EL NACIMIENTO DE LA MATEMÁTICA

LA EDAD MEDIA:

EL AÑO 1000. GERBERTO DE AURILLAC

EL RENACIMIENTO:

TARTAGLIA Y LOS DESAFÍOS MATEMÁTICOS

LA EDAD MODERNA:

COPÉRNICO Y KEPLER. LA CIENCIA NUEVA DE GALILEO. NEWTON Y LEIBNIZ

ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LA TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES

LA PRODUCCIÓN MATEMÁTICA: TEMAS Y MODAS

GEOMETRÍA INTEGRAL. GEOMETRÍA ESTOCÁSTICA

ESTEREOLOGÍA. TOMOGRAFÍA COMPUTADA

En este volumen se presenta el contenido del ciclo de conferencias impartidas en el seno de la Càtedra «Ferrater Mora» de Pensament Contemporani de la Universitat de Girona, del 4 al 15 de noviembre de 1991, gracias a la amable invitación de su director, el profesor Josep-Maria Terricabras.

A lo largo de estas páginas he intentado desarrollar la evolución histórica general de las ideas matemáticas, siempre desde su doble aspecto de filosofía y técnica, que caracteriza a este saber que denominamos matemática; un saber, por cierto, que siempre se ha hallado entre el pensar y el obrar, entre el verbo y la acción. Más adelante, cuando la matemática de los siglos XIX y XX se ramifica de una manera extraordinaria y resulta difícil hallar puntos de vista unificadores, he concentrado mi estudio en algunos conocimientos especiales de los campos de la geometría y de las probabilidades en los que he trabajado personalmente. Pienso que estos conocimientos pueden ser un buen ejemplo de la diversidad de temas que configuran el pensamiento matemático actual, tanto por su aspecto filosófico de elucubración intelectual como por su aspecto técnico de resolución de problemas de la vida diaria.

Las conferencias siempre fueron acompañadas de los comentarios hechos por los asistentes, a los cuales quisiera expresar mi gratitud, sobre todo por la gran influencia que tuvieron en la preparación de mis siguientes conferencias. Como invitados especiales, asistieron y colaboraron los profesores F. Affentranger (Friburgo), L. M. Cruz Orive (Berna), A. Martínez Naveira (Valencia) y E. Ortiz (Londres), con quienes tuve la oportunidad de intercambiar puntos de vista. Por su parte, y a modo de complemento de las conferencias, los mencionados profesores debatieron sobre el estado actual de la matemática, cada uno a partir de la experiencia adquirida en su respectiva especialidad. Fue también un placer participar al lado de los profesores Claudi Alsina (Barcelona) y Enric Trillas (Madrid), en el ciclo de conferencias sobre La Matemática d’ahir, avui i demà organizado por el Centro Cultural «La Mercè» del Ayuntamiento de Girona. A lo largo de estas sesiones se consideró el problema, siempre vigente, de la enseñanza de la matemática a las nuevas generaciones, de modo que pueden ser consideradas como un complemento, para un público más amplio, del curso de la Càtedra «Ferrater Mora».

Deseo agradecer a la Universitat de Girona, a todos los colaboradores de la Càtedra «Ferrater Mora», y, de manera especial, a su director Josep-Maria Terricabras, las amables atenciones que de ellos recibí, así como la oportunidad que me brindaron de pasar unos días inolvidables en Girona, mi ciudad natal, de reencontrarme con muchos antiguos amigos y de trabar nuevas y cordiales amistades.

LLUÍS A. SANTALÓ

La matemática es una rama del conocimiento acerca de la cual prácticamente todo el mundo tiene una idea formada. No obstante, esta idea no es la misma para todo el mundo. Para quienes tan sólo recuerdan la matemática que aprendieron en la escuela primaria, la matemática se halla integrada por los cálculos aritméticos comunes y por los nombres y las propiedades de algunas figuras geométricas. Para ellos, la matemática consiste en las cuatro operaciones con números enteros o con fracciones, necesarias para resolver los problemas de regla de tres, porcentajes, repartos proporcionales, o en sus aplicaciones para calcular áreas y volúmenes. Para ellos, saber matemáticas es saber calcular y, por consiguiente, con la aparición de las calculadoras electrónicas, que hacen inútil la habilidad de cálculo, consideran que la matemática ha perdido ya su interés y que cada día es menos necesario aprenderla en la escuela. Ahora bien, dado que la supresión de la matemática en la escuela produciría cierto vacío —vacío que provoca el horror clásico—, opinan que la mejor solución es no permitir el uso de las calculadoras en la escuela, con el objeto de que los alumnos continúen calculando como siempre se ha hecho.