Ian Stewart - Historia de las matemáticas

Las matemáticas empezaron con los números , y los números siguen siendo fundamentales, incluso si la disciplina ya no se limita a los cálculos numéricos. Sobre la base de los números, las matemáticas han construido conceptos más sofisticados y se han desarrollado hasta constituir un área muy amplia y variada del pensamiento humano, que va mucho más allá de lo que encontramos en un típico temario escolar. Las matemáticas de hoy tratan más de estructuras, pautas y formas que de los propios números. Sus métodos son muy generales, y a menudo muy abstractos. Tienen aplicaciones en la ciencia, la industria, el comercio…, incluso las artes. Las matemáticas son universales y ubicuas.

Durante muchos miles de años, matemáticos de muchas y diferentes culturas han creado una enorme superestructura cimentada en los números: geometría, cálculo infinitesimal, dinámica, probabilidad, topología, caos, complejidad, etc. La revista Mathematical Reviews, que registra cada nueva publicación matemática, clasifica la disciplina en casi un centenar de áreas mayores, subdivididas en varios miles de especialidades. Hay más de 50 000 matemáticos investigadores en el mundo, que publican más de un millón de páginas de matemáticas nuevas cada año. Matemáticas genuinamente nuevas, no sólo pequeñas variaciones sobre resultados ya existentes.

Los matemáticos también han investigado en los fundamentos lógicos de su disciplina, y han descubierto conceptos aún más fundamentales que los números: lógica matemática, teoría de conjuntos. Pero, una vez más, la motivación principal, el punto de partida del que fluye todo lo demás, es el concepto de número.

Los cálculos con números pueden ser duros; obtener el número correcto puede ser difícil. Incluso así, es mucho más fácil utilizar números que especificar qué son realmente. Los números cuentan cosas, pero no son cosas: podemos coger dos tazas, pero no podemos coger el número «dos».

Los números se denotan por símbolos, pero no son símbolos: diferentes culturas utilizan diferentes símbolos para el mismo número. Los números son abstractos, y sin embargo nuestra sociedad se basa en ellos y no funcionaría sin ellos. Los números son una construcción mental, y sin embargo tenemos la sensación de que seguirían teniendo significado incluso si la humanidad fuera barrida por una catástrofe mundial y no quedara ninguna mente para contemplarlos.

La historia de las matemáticas empieza con la invención de símbolos escritos para denotar números. Nuestro familiar sistema de «dígitos» 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para representar todos los números imaginables, por grandes que sean, es una invención relativamente reciente; nació hace unos 1500 años, y su extensión a los «decimales», que nos permite representar números con alta precisión, no tiene más de 450 años. Los computadores, que han introducido los cálculos matemáticos en nuestra cultura de forma tan profunda que ya no notamos su presencia, llevan con nosotros tan sólo unos 50 años.

Y sólo hace 20 años que disponemos de computadores suficientemente potentes y rápidos para servirnos en nuestros hogares.

Sin números, la civilización tal como ahora la conocemos no podría existir. Los números están por todas partes, como sirvientes ocultos que corren de un lado a otro entre bastidores: llevan mensajes, corrigen nuestra ortografía cuando escribimos a máquina, programan nuestros vuelos de vacaciones al Caribe, llevan el registro de nuestros bienes, garantizan que nuestros medicamentos sean seguros y efectivos. Y, en contrapartida, hacen posibles las armas nucleares y guían bombas y misiles hacia sus objetivos.

No todas las aplicaciones de las matemáticas han mejorado la condición humana.

¿Cómo surgió esta industria numérica verdaderamente enorme?

Incluso entonces, los contables ya estaban registrando quién era el propietario de qué, y de cuánto; incluso si todavía no se había inventado la escritura y no había símbolos para los números. En lugar de símbolos numerales, aquellos contables antiguos utilizaban pequeñas fichas de arcilla. Unas eran conos, otras eran esferas y otras tenían forma de huevos.

Había cilindros, discos y pirámides. La arqueóloga Denise Schhmandt-Besserat dedujo que estas fichas representaban productos básicos de la época. Las esferas de arcilla representaban fanegas de grano, los cilindros representaban animales, los huevos jarras de aceite. Las fichas más antiguas datan del 8000 a. C. y fueron de uso común durante 5000 años.

El hueso de Ishango, con las pautas de marcas y los números que pueden representar.

Con el paso del tiempo, las fichas se hicieron más elaboradas y más especializadas. Había conos decorados para representar barras de pan, y tabletas en forma de diamante para representar cerveza. Schmandt-Besserat se dio cuenta de que estas fichas eran mucho más que un artificio de contabilidad. Eran un primer paso vital en el camino hacia los símbolos numerales, la aritmética y las matemáticas. Pero ese paso inicial fue bastante extraño, y parece dado por accidente.

Arriba. Las marcas de cuenta tienen la ventaja de que pueden ir añadiéndose de una en una, durante largos periodos, sin alterar o borrar marcas anteriores. Se siguen utilizando hoy, a menudo en grupos de cinco con el quinto trazo cruzando diagonalmente los cuatro anteriores. Abajo. La presencia de marcas de cuenta aún puede verse en los numerales modernos. Nuestros símbolos 1,2, 3 se derivan, respectivamente, de un solo trazo, dos trazos horizontales unidos por una línea inclinada, y tres trazos horizontales unidos por una línea inclinada.

Se dio porque las fichas se utilizaban para llevar registros, quizá con fines impositivos o financieros, o como prueba legal de propiedad. Las fichas tenían la ventaja de que los contables podían ordenarlas rápidamente para calcular cuántos animales o cuánto grano poseía o debía alguien. El inconveniente era que las fichas podían ser falsificadas. Así que para asegurar que nadie interfería en las cuentas, los contables guardaban las fichas en recipientes de arcilla, como si estuvieran precintadas. Podían descubrir rápidamente cuántas fichas, y de qué tipo, había dentro de un recipiente dado rompiéndolo. Siempre podían hacer un nuevo recipiente para un almacenamiento posterior.

Sin embargo, romper repetidamente un recipiente y renovarlo era una forma muy poco eficaz de descubrir lo que había dentro, y los burócratas de la antigua Mesopotamia pensaron algo mejor. Inscribieron símbolos en el recipiente que hacían una lista de las fichas que contenía. Si había dentro siete esferas, los contables dibujaban siete esferas en la arcilla húmeda de la vasija.

En algún momento los burócratas mesopotámicos se dieron cuenta de que, una vez que habían dibujado los símbolos en el exterior del recipiente, ya no necesitaban los contenidos, y ya no tenían que romper el recipiente para ver qué fichas había dentro.

Este paso obvio pero crucial dio lugar a un conjunto de símbolos numerales escritos, con diferentes formas para diferentes clases de bienes. Todos los demás símbolos numerales, incluidos los que hoy utilizamos, son los descendientes intelectuales de este antiguo artificio burocrático. De hecho, es posible que la sustitución de fichas por símbolos haya constituido también el nacimiento de la propia escritura.

Marcas de cuenta

Estas marcas de arcilla no eran ni mucho menos los más antiguos ejemplos de escritura numeral, pero todos los ejemplos anteriores son poco más que rayas, «marcas de cuenta», que registran números como una serie de trazos, tales como