Guillermo Martínez - Gödel ∀ (para todos)

EJEMPLOS DE TEORÍAS COMPLETAS E INCOMPLETAS

Damos aquí uno de los ejemplos históricos más importantes de una teoría dada por axiomas, que fue considerado modélico en la historia de la matemática. En la formulación original, Euclides ya hacía la distinción entre afirmaciones de naturaleza matemática específica (los postulados) y afirmaciones de naturaleza lógica general (nociones comunes).

Postulados

1. (Es posible) trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro.
2. (Es posible) prolongar continuamente en línea recta una recta dada.
3. (Es posible) trazar un círculo con cualquier centro y distancia (radio).
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una recta incide sobre otras dos formando del mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, al prolongarlas indefinidamente se encontrarán por el lado en que los ángulos sean menores que dos rectos.

Nociones comunes

1. Cosas que son iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
2. Si a cosas iguales se suman cosas iguales, los totales son iguales.
3. Si a cosas iguales se restan cosas iguales, los restos son iguales.
4. Cosas que encajen cada una en la otra son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.

Observaciones:

El postulado 5 puede ser reformulado como

5*. Dado una línea recta y un punto exterior a ella puede trazarse una única línea paralela a la recta dada que pase por ese punto.

En su tratado de geometría Euclides eludió hasta donde le era posible usar este quinto postulado, porque no le parecía tan obvio como los anteriores. Durante siglos los geómetras trataron de probar el quinto postulado como un teorema a partir de los cuatro primeros. Finalmente, a principios del siglo XIX, C. F. Gauss, J. Bolyai y N. Lobachevski, independientemente unos de otros, conjeturaron que el quinto axioma no era demostrable a partir de los otros cuatro. Esto dio lugar a una geometría alternativa a la euclideana, llamada hiperbólica, en que valen los primeros cuatro postulados y la negación del quinto.

Finalmente la consistencia de la geometría hiperbólica fue probada por Eugenio Beltrami (1835-1900). En 1868 escribió un artículo titulado «Ensayo sobre la interpretación de la geometría no euclidiana» en el que presentaba un modelo para la geometría hiperbólica dentro de la geometría euclidiana. Esto significa que si la geometría hiperbólica fuera inconsistente, esa inconsistencia no provendría de la negación del quinto axioma, sino de alguno de los cuatro axiomas que dan fundamento también a la geometría euclidiana.

Ya Euclides era consciente de la separación entre los postulados que se referían a los objetos matemáticos (los primeros 5) y las nociones puramente lógicas, «universalmente válidas», que reúne como «nociones comunes».

AXIOMATIZACIONES DE UN OBJETO MATEMÁTICO

Dado un objeto matemático O, llamamos Teoría deO, y escribimos T(O), al conjunto de enunciados (de primer orden) verdaderos en O.

Éste es un ejemplo siempre disponible (y trivial) de una axiomatización completa para el objeto O: incluir como axiomas a todos los enunciados verdaderos. Pero la idea detrás de una axiomatización es poder presentar fehacientemente unos «pocos» enunciados verdaderos, que sean a la vez suficientes o «bastantes» para reobtener, como teoremas, a todos los enunciados verdaderos de O.

Una teoría T se dice recursivamente axiomatizable si existe una teoría T' recursiva tal que los teoremas de T' son los mismos que los de T.

Una teoría T se dice finitamente axiomatizable si existe una teoría T' con una cantidad finita de axiomas tal que los teoremas de T' son los mismos que los de T.

En la discusión de los ejemplos que siguen nos serán útiles también estas definiciones:

Una teoría T' extiende a la teoría T si todo axioma de T es también axioma de T'.

Una teoría T se dice finitamente completable si puede extenderse a una teoría T' completa por el agregado de una cantidad finita de axiomas.

Una teoría T se dice recursivamente completable si puede extenderse a una teoría T' completa por el agregado de un conjunto recursivo de axiomas.

Una teoría se dice esencialmente incompleta si es incompleta y recursivamente incompletable.

EJEMPLOS DE AXIOMATIZACIONES FINITAS O RECURSIVAS

El lenguaje es L = {<}. Consideremos los siguientes enunciados, que se verifican todos en Q (omitimos, por brevedad, los cuantificadores universales):

Ésta es una lista finita y completa de axiomas para los números fraccionarios Q con el orden habitual. Es decir, todos los enunciados (de primer orden) que se escriben con estos símbolos y son verdaderos en Q pueden reobtenerse como teoremas a partir de estos 7 axiomas [Chang y Keisler].

Sea L = {+, 0}, donde + es símbolo de función binaria y 0 símbolo de constante. Consideremos los siguientes axiomas, que se verifican todos en (Q; +, 0):

Esta teoría es recursiva y completa, pero no finitamente axiomatizable [Chang y Keisler].

Recordemos que los números complejos pueden pensarse como expresiones del tipo a + bi, donde a y b son números reales, e i es la componente imaginaria con la propiedad i2 = −1.

La suma de dos números complejos está dada del siguiente modo: (a + bi) + (c + di) = ( a + c) + (b + d)i

La multiplicación de dos números complejos está dada del siguiente modo: (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Sea L = {+, ·, 0, 1} donde + y · son símbolos de funciones binarias y 0 y 1 símbolos de constantes. Consideremos la siguiente lista de enunciados (que se verifican todos en ℂ, el conjunto de los números complejos):