Ernest Nagel - El teorema de Gödel

ERNEST NAGEL (Nove Mesto, 1901 - Nueva York, 1985). Filósofo estadounidense de origen checoslovaco. Profesor en Columbia (Nueva York) e influido por el positivismo lógico, es autor, entre otras obras, de Introducción a la lógica y al método científico (con M. R. Cohen, 1934), La lógica sin metafísica (1944) y La estructura de la ciencia (1961).

JAMES ROY NEWMAN (1907-1966) fue un matemático e historiador matemático estadounidense. También fue abogado en el estado de Nueva York de 1929 a 1941. Durante y después de la Segunda Guerra Mundial, ocupó diversos cargos en el gobierno de Estados Unidos, incluyendo el de jefe de inteligencia de la embajada de EE. UU. en Londres, Asistente Especial del Subsecretario de la Guerra, y asesor del Comité del Senado de EE. UU. de Energía Atómica. En esta institución, ayudó a redactar la Ley de Energía Atómica de 1946. Se convirtió en miembro del consejo editorial de la revista Scientific American a comienzos de 1948.

• Carnap, Rudolf: Logical Syntax of Language, Nueva York, 1937.
• Findlay, J.: «Goedelian sentences: a non-numerical approach», Mind, Vol. 51 (1942), pags. 259-265.
• Gödel, Kurt: «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I», Monatshefte für Mathematik und Physik, Vol. 38 (1931), pags. 173-198.
• Kleene, S. C.: Introduction to Metamathematics, Nueva York, 1952.
• Ladrière, Jean: Limitaciones internas de los formalismos, Madrid, Ed. Tecnos, 1969.
• Mostowsky, A.: Sentences Undecidable in Formalized Arithmetic, Amsterdam, 1952.
• Quine, W. V. O.: Methods of Logic, Nueva York, 1950.
• Rosser, Barkley: «An informal exposition of proofs of Gödel’s theorems and Church’s theorem», Journal of Symbolic Logic, Vol. 4 (1939), pags. 53-60.
• Turing, A. M.: «Computing machinery and intelligence», Mind, Vol. 59 (1950), pags. 433-460.
• Weyl, Hermann: Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton, 1949.
• Wilder, R. L.: Introduction to the Foundations of Mathematics, Nueva York, 1952.

En 1931 apareció en una publicación científica alemana un trabajo, relativamente corto, que llevaba el impresionante título de «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas conexos». Su autor era Kurt Gödel, a la sazón un joven matemático de veinticinco años de la Universidad de Viena y, desde 1938, miembro permanente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Dicho trabajo constituye una piedra miliaria en la historia de la lógica y las matemáticas. Cuando la Universidad de Harvard le invistió como doctor honoris causa en 1952, la mención describió la obra como uno de los más importantes avances que en el campo de la lógica se han realizado en los tiempos modernos.

En la época de su publicación, sin embargo, ni el título del trabajo de Gödel ni su contenido eran inteligibles para la mayoría de los matemáticos. Los Principia Mathematica mencionados en el título son el monumental tratado en tres volúmenes debido a Alfred North Whitehead y Bertrand Russell sobre la lógica matemática y los fundamentos de las matemáticas, y el conocimiento de esa obra no es un requisito indispensable para la realización de una fructuosa investigación en la mayoría de las ramas de la ciencia matemática. Además, el trabajo de Gödel versa sobre una serie de cuestiones que nunca han atraído mas que a un grupo relativamente reducido de estudiosos. El razonamiento del teorema era tan nuevo en el momento de su publicación, que solo quienes se hallaban pertrechados con un profundo conocimiento de la literatura técnica sumamente especializada podían seguir y comprender plenamente la línea argumentativa del mismo. Actualmente, sin embargo, las conclusiones establecidas por Gödel son por todos reconocidas como verdaderamente revolucionarias por su honda significación filosófica. La finalidad del presente ensayo es hacer accesibles a los no especialistas el núcleo esencial de los hallazgos de Gödel y las líneas generales de su teorema.

El famoso trabajo de Gödel se centró sobre un importante problema radicado en el fundamento mismo de las matemáticas. Antes de entrar de lleno en su exposición, será conveniente dar una breve explicación del terreno en que se desenvuelve dicho problema. Todo el que haya estudiado geometría elemental recordará, sin duda, que esta es enseñada como una disciplina deductiva. No se la presenta como una ciencia experimental, cuyos teoremas deban ser aceptados por hallarse de acuerdo con lo que enseña la observación. Esta idea de que una proposición puede ser establecida como conclusión de una prueba lógica explícita se remonta a los antiguos griegos, los cuales descubrieron lo que se conoce con el nombre de «método axiomático» y lo utilizaron para obtener un desarrollo sistemático de la geometría. El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados (por ejemplo, el axioma de que entre dos puntos sólo puede trazarse una línea recta), y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los «cimientos» del sistema; los teoremas son la «superestructura», y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios de la lógica.

El desarrollo axiomático de la geometría produjo una poderosa impresión en los pensadores de todos los tiempos, ya que el relativamente pequeño número de axiomas soporta el peso de las infinitamente numerosas proposiciones que de ellos podían derivarse. Además, si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas —y, en efecto, durante cerca de dos mil años la mayoría de los estudiosos han creído sin discusión que son absolutamente ciertos—, quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. Por estas razones la forma axiomática de la geometría se presentó a muchas generaciones de destacados pensadores como el más excelente modelo de conocimiento científico. Era natural preguntar, por tanto, si era posible asentar sobre un sólido cimiento axiomático otras ramas de pensamiento además de la geometría. No obstante, aunque en la antigüedad se dio una formulación axiomática a ciertas partes de la física (por Arquímedes), hasta los tiempos modernos la geometría era la única rama de las matemáticas dotada de lo que la mayoría de los estudiosos consideraban una adecuada base axiomática.

Pero durante los dos últimos siglos el método axiomático ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemáticas, incluyendo la familiar aritmética de los números cardinales (o «enteros»), fueron provistas de lo que parecían ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Nació así un estado de opinión en el que se admitía tácitamente que todos los sectores del pensamiento matemático podían ser dotados de unos conjuntos de axiomas susceptibles de desarrollar sistemáticamente la infinita totalidad de proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigación.

El trabajo de Gödel demostró que esta suposición es insostenible. Puso frente a los matemáticos la asombrosa y melancólica conclusión de que el método axiomático posee ciertas limitaciones intrínsecas que excluyen la posibilidad de que ni siquiera la aritmética ordinaria de los números enteros pueda llegar a ser plenamente axiomatizada. Y aún más, demostró que es imposible establecer la consistencia lógica interna de una amplia clase de sistemas deductivos —la aritmética elemental, por ejemplo—, a menos que se adopten principios tan complejos de razonamiento que su consistencia interna quede tan sujeta a la duda como la de los propios sistemas. A la luz de estas conclusiones, resulta inalcanzable una completa sistematización final de muchas y muy importantes zonas de las matemáticas y no puede darse ninguna garantía absolutamente impecable de que muchas de las más significativas ramas del pensamiento matemático se hallen enteramente libres de toda contradicción interna.