Eugenio Fernández Aguilar - Arquímedes. El principio de Arquímedes

En este anexo se recogen algunos textos de los tratados de Arquímedes, según la traducción de Paloma Ortiz García, en la Biblioteca Clásica Gredos, edición de 2005. La numeración de las citas se refiere a la edición de Heiberg-Stamatis: volumen en números romanos y página y líneas en arábigos, siempre en este orden.

Libro I

«2. Llamo siempre cóncava por el mismo lado a una línea tal que si en ella tomamos dos puntos cualesquiera, las rectas entre esos puntos o bien caen enteras hacia el mismo lado de la línea o bien una parte hacia el mismo lado y otra sobre la propia línea, pero ninguna hacia el otro lado.» (I, 6, 6-12).

«Proposición 33. La superficie de toda esfera es el cuádruple del círculo máximo de los que hay en ella.» (I, 121, 15-16).

«Proposición 34. La esfera entera es el cuádruple del cono que tiene la base igual al círculo máximo de los de la esfera y por altura el radio de la esfera.» (I, 125, 15-17).

«Corolario [a proposición 34]. Una vez demostrado lo anterior, es evidente que todo cilindro que tenga por base el círculo máximo de los de la esfera y la altura igual al diámetro de la esfera es una vez y media la esfera, y su superficie, incluidas las bases, es una vez y media la superficie de la esfera.» (1,131, 4-9).

«Proposición 42. La superficie de todo casquete de esfera menor que un hemisferio es igual al círculo cuyo radio es igual a la recta trazada desde el vértice del casquete hasta la circunferencia del círculo que es la base del casquete de esfera.» (I, 157, 1-5).

«Proposición 44. Todo sector de esfera es igual a un cono que tenga la base igual a la superficie del casquete de esfera correspondiente al sector y la altura igual al radio de la esfera.» (I, 160, 13-16).

Libro II

Arquímedes a Dositeo

«¡Salud! Hace un tiempo me pediste que redactara las demostraciones de los problemas cuyos enunciados yo mismo envié a Conón. Ocurre que la mayor parte de ellas se redacta por medio de los teoremas cuyas demostraciones te mandé antes: […].» (II, 168, 1-8).

«Proposición 3. El tercer problema era este: cortar mediante un plano la esfera dada de manera que las superficies de los casquetes guarden entre sí una razón igual a la razón dada.» (II, 184, 1-4).

«Proposición 1. Todo círculo es igual a un triángulo rectángulo cuyo radio es igual a uno de los lados que forman el ángulo recto y el perímetro es igual a la base.» (1, 232, 1-4).

«Proposición 2. El círculo guarda con el cuadrado levantado sobre su diámetro la razón de 11 a 14.» (I, 235, 18-20).

«Proposición 3. El perímetro de todo círculo es el triple del diámetro y además excede de él en menos de un séptimo del diámetro, pero es más de diez setentaiunavos.» (I, 237, 8-11).

«Proposición 4. Toda área comprendida por una elipse guarda con el círculo de diámetro igual al diámetro mayor de la elipse la misma razón que su diámetro menor con el mayor o con el diámetro del círculo.» (I, 276, 3-7).

«Proposición 6. Las áreas comprendidas por las elipses guardan entre sí la misma razón que la que guardan entre sí los rectángulos comprendidos por los diámetros de las elipses.» (I, 285, 7-10).

«Proposición 19. Dado un segmento de cualquiera de los dos tipos de conoide cortado por un plano perpendicular al eje, o un segmento no mayor que la mitad de un elipsoide de una u otra clase cortado de manera semejante, es posible inscribir una figura sólida y circunscribir otra compuesta de cilindros de la misma altura de modo que la figura circunscrita exceda a la inscrita en una magnitud menor que cualquier magnitud sólida propuesta.» (I, 336, 1-14).

«Proposición 21. […] Todo segmento de paraboloide cortado por un plano perpendicular al eje es una vez y media el cono que tiene la misma base que el segmento y el mismo eje.» (1,345,18-23).

«Proposición 27. En todo elipsoide cortado por un plano que pase por el centro, perpendicular al eje, la mitad del elipsoide es el doble del cono que tiene la misma base que el segmento y el mismo eje.» (I, 393, 18-22).

«De los teoremas que envié a Conón, respecto a los cuales me encargas constantemente que te escriba las demostraciones, la mayoría las tienes escritas en lo que te llevó Heráclides y algunas otras te las escribo y envío en este libro.» (II, 2, 2-6).

«Proposición 1. Si un punto moviéndose se desplaza uniformemente por una línea y en ella se toman dos líneas, las líneas tomadas guardarán entre sí la misma razón que los tiempos en los que el punto las recorrió.» (II, 12, 13-17).

«1. Si se traza una línea recta en un plano y, permaneciendo fijo uno de sus extremos y haciéndola girar un número cualquiera de veces, vuelve de nuevo a la posición de la que partió y, al mismo tiempo que se hace girar la línea, se desplaza por la recta un punto a velocidad uniforme partiendo del extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano.» (II, 45, 16-22).

«Proposición 24. El área comprendida por la espiral trazada en su primer giro y por la recta primera tomada en la recta principio del giro es la tercera parte del círculo primero.» (II, 87, 7-10).

Libro I

«1. Postulamos que los pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio, y que los pesos iguales a distancias desiguales no están en equilibrio, sino que el de mayor longitud se inclina hacia el peso.

2. Y que, si estando en equilibrio unos pesos a ciertas distancias, se incrementa uno de los pesos, no mantienen el equilibrio, sino que se inclinan hacia el peso al que se le añadió algo.

3. E igualmente, que si de uno de los pesos se quita algo, no mantienen el equilibrio, sino que se inclina hacia el peso del que no se quitó nada.» (II, 124, 3-12).

«Proposición 1. Los pesos en equilibrio a distancias iguales son iguales.» (II, 127, 5-6).

«Proposición 2. Los pesos desiguales a distancias iguales no están en equilibrio, sino que se inclinarán hacia el mayor.» (II, 127, 12-14).

«Proposición 6. Las magnitudes conmensurables están en equilibrio a distancias que guardan la razón inversa de la de los pesos.» (II, 131,13-15).

«Proposición 7. Y también de modo semejante, si las magnitudes son inconmensurables, estarán en equilibrio a distancias que guarden la razón inversa de las magnitudes.» (II, 137, 17-20).

«Proposición 10. El centro de gravedad de todo paralelogramo es el punto en que se cortan las diagonales.» (II, 142,22-24).

«Proposición 14. En todo triángulo el centro de gravedad es el punto en el que coinciden las rectas trazadas desde los ángulos hasta el centro de los lados.» (II, 158, 8-11).

Libro II

«Proposición 8. El centro de gravedad de todo segmento comprendido por una recta y una parábola corta al diámetro del segmento de modo que la parte de este que está hacia el vértice del segmento es una vez y media la parte del mismo que está hacia la base.» (II, 187, 29-30,188,1-3).

Arquímedes a Gelón

«Creen algunos, rey Gelón, que es infinito en cantidad el número de granos de arena —me refiero no solo a la que hay en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también a la de toda la Tierra habitada y no habitada—. Y hay algunos que suponen que no es que sea infinito, sino que no ha recibido nombre ninguna cifra tan elevada que exceda esta cantidad.» (II, 216, 3-9).

«Pero yo intentaré hacerte ver —mediante demostraciones geométricas que podrás comprender— que alguno de los números a los que he dado nombre y que he dado a conocer en los libros que dediqué a Zeuxipo superan no solo el número de granos de arena igual en magnitud a la Tierra colmada, como dijimos, sino también el de un volumen igual al mundo.» (II, 217, 16-21, 218, 1).