Arquímedes - El arenario

Algunos creen, rey Gelón, que el número de los granos de arena es una cantidad infinita: hablo no solamente de la que está alrededor de Siracusa y de toda Sicilia, sino de toda la tierra tanto habitada como deshabitada. Hay algunos que no creen que sea infinito, sino que no hay ningún número nombrado que supere esta cantidad. Es evidente que los que de tal modo opinan si imaginaran reunido un volumen de arena de una magnitud igual al volumen de la Tierra, llenando todos los mares y todas las cavidades de la Tierra hasta la misma altura de las cimas de las montañas, con más razón no creerían que pudiera nombrarse ningún número que superara esta cantidad. Yo sin embargo trataré de probarte con demostraciones geométricas que puedas seguir, que algunos de los números nombrados por mí y explicados en los escritos dirigidos a Zeuxipo no solamente superan el número de los granos de arena de una magnitud igual a la de la Tierra llena tal como hemos dicho, sino de una magnitud igual a la del cosmos.

Ya sabes que la mayoría de los astrónomos llaman cosmos a la esfera cuyo centro es el centro de la Tierra y cuyo radio es igual al segmento entre el centro del Sol y el centro de la Tierra. Esto lo conoces por las demostraciones escritas de los astrónomos. Pero Aristarco de Samos editó un libro con algunas hipótesis, en el cual se deduce de las premisas que el cosmos es muchas veces mayor de lo que hemos dicho ahora. Supone en efecto que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, mientras que la Tierra gira alrededor del Sol según la trayectoria de un círculo, estando situado el Sol en el centro de la órbita, y que la esfera de las estrellas fijas que tiene el centro cerca del Sol es de una tal magnitud, que el círculo según el cual se supone que gira la Tierra, tiene la misma razón respecto a la distancia de las estrellas fijas, que la que tiene el centro de la esfera a la superficie. Esto evidentemente es imposible, puesto que el centro de la esfera no tiene tiene magnitud, ni puede pensarse que tenga ninguna razón con respecto a la superficie de la esfera. Hay que ver que Aristarco pensaba esto: puesto que suponemos que la Tierra es el centro del cosmos, la razón que tiene la Tierra con respecto al cosmos de que hablamos, es la razón que tiene la esfera, en la que hay un círculo según el cual se supone que gira la Tierra, con respecto a la esfera de las estrellas fijas. De este modo ajusta a la hipótesis las demostraciones de los fenómenos, y sobre todo parece que supone la magnitud de la esfera en la cual hace mover la Tierra, igual al cosmos de que hablamos.

Decimos pues que si se hiciera una esfera de arena de una magnitud tal como la esfera que Aristarco supone de las estrellas fijas, puede demostrarse igualmente que algunos de los números antedichos que poseen nombre superan en cantidad el número de los granos de arena con una magnitud igual a la de la esfera citada, suponiendo lo siguiente:

En primer lugar que el perímetro de la Tierra es de 3 000 000 de estadios y no más; aunque algunos tratan de demostrar, como tú también sabes, que es de 300 000 estadios. Yo, superando esto y poniendo la magnitud de la Tierra en diez veces lo propuesto por los anteriores, supongo que el perímetro de la misma es 3 000 000 de estadios y no más.

Después, que el diámetro de la Tierra es mayor que el de la Luna, y que el diámetro del Sol es mayor que el diámetro de la Tierra, tomando lo mismo que la mayoría de los astrónomos anteriores.

Después, que el diámetro del Sol es unas treinta veces mayor que el diámetro de la Luna y no más; aunque de entre los astrónomos anteriores, Eudoxo declara que es unas nueve veces mayor, Fidias, mi padre, unas doce veces, y Aristarco ha tratado de demostrar que el diámetro del Sol es mayor que dieciocho veces el diámetro de la Luna y menor que veinte veces. Yo, sin embargo, superando esto para que lo propuesto quede demostrado sin discusión, supongo que el diámetro del Sol es treinta veces mayor que el diámetro de la Luna y no más.

Además, el diámetro del Sol es mayor que el lado del polígono de mil lados inscrito en el círculo máximo del cosmos. Supongo esto por haber encontrado Aristarco que el Sol aparece como una setecientosveinteava parte del círculo del Zodíaco; yo mismo traté de encontrar experimentalmente, observando de esta manera, el ángulo al cual se ajusta el Sol con el vértice en el ojo. No es fácil encontrar esto con exactitud porque ni el ojo, ni las manos, ni los instrumentos mediante los cuales hay que hacerlo son dignos de confianza para mostrarlo con exactitud. No es oportuno ahora hablar más acerca de esto, sobre todo porque ya se ha explicado a menudo. Me basta para la demostración de lo propuesto tomar un ángulo que no sea mayor que el ángulo al cual se ajusta el Sol con el vértice en el ojo, y, además, tomar otro ángulo que no sea menor que el ángulo al cual se ajusta el Sol con el vértice en el ojo.

Poniendo pues una larga vara sobre un pie vertical, situado en un lugar desde donde pueda verse el Sol al levantarse, y poniendo un cilindro pequeño y torneado perpendicularmente sobre la vara directamente después de la salida del Sol, cuando está sobre el horizonte y se le puede mirar, se gira la vara hacia el Sol y se pone el ojo sobre el extremo de la vara. El cilindro situado en medio del Sol y de la vista tapa el Sol. Retirando, pues, el cilindro del ojo, en el momento en que empieza a aparecer un poco de sol a ambos lados del cilindro, se para el cilindro. Si sucediera entonces que el ojo observara desde un punto, trazando rectas desde el extremo de la vara en el lugar en que está el ojo que rozaran el cilindro, el ángulo comprendido entre las rectas trazadas sería menor que el ángulo al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo, ya que se ve algo del Sol a ambos lados del cilindro. Puesto que los ojos no miran desde un punto, sino desde una cierta magnitud, se toma una magnitud circular no menor que el ojo, y se pone esta magnitud sobre el extremo de la vara, en el lugar en que está el ojo; trazando rectas que rocen esta magnitud y el cilindro, el ángulo comprendido entre las rectas es menor que el ángulo, al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo. La magnitud no menor que el ojo se encuentra de este modo. Se toman dos cilindros delgados de igual grosor, el uno blanco y el otro no, y se ponen delante del ojo, el blanco separado de él y el no blanco tan cercano al ojo que toque el rostro. Si los cilindros tomados son más delgados que el ojo, éste abarca el cilindro más cercano y ve todo el blanco, si son mucho más delgados, se ve parte del blanco a ambos lados del cilindro cercano al ojo; tomando ambos cilindros con un grosor adecuado el uno tapa al otro sin más. Una magnitud tal como el grosor de los cilindros que cumplen esto con mayor razón no será menor que el ojo. El ángulo que no es menor que el ángulo al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo, lo tomé de esta manera. Separando del ojo el cilindro sobre la vara de modo que tapara el cilindro todo el Sol y trazando rectas desde el extremo de la vara, en el lugar en que está el ojo, que rocen el cilindró, el ángulo comprendido entre las rectas trazadas no es menor que el ángulo al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo. Midiendo con un ángulo recto los ángulos así tomados, el ángulo a partir del punto resultó menor que una parte del ángulo recto dividido en 164 partes y el otro ángulo menor resultó mayor que una parte del recto dividido en 200 partes. Es evidente, pues, que el ángulo al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo es menor que una parte del ángulo recto dividido en 164 partes y mayor que una parte del ángulo recto dividido en 200 partes.

El resultado del experimento era mostrar que el ángulo subtendido por el diámetro del Sol era menor que 1/164 y mayor que 1/200 parte de un ángulo recto.

Hay que demostrar que (suponiendo esto) el diámetro del Sol es mayor que el lado de un polígono de 1000 lados, inscrito en un círculo máximo del «cosmos», o universo.