Paolo Zellini - La matemática de los dioses y los algoritmos de los hombres

¿De qué realidad nos habla la matemática? Muchos consideran que los matemáticos se ocupan de formalismos abstractos, y que solo por razones inexplicables dichos formalismos se aplican en todos los ámbitos de la ciencia. Concebimos entidades intangibles que parecen destinadas a definir modelos de fenómenos que suceden realmente en el mundo. Por un lado, las cosas reales, actuales; por otro, los conceptos matemáticos, creaciones de nuestra mente, que simulan el comportamiento de las primeras de una forma más o menos eficaz. El desconocimiento de los verdaderos motivos del poder descriptivo de las fórmulas y ecuaciones no ayuda ciertamente a aclarar las motivaciones del pensamiento matemático. Si acaso, acaba por corroborar la idea de que los matemáticos no son propensos a ocuparse del mundo. La matemática continúa así presentándose como una ciencia que elabora ingeniosas operaciones con normas y conceptos que parecen inventados con el único fin de realizarlas correctamente. No importa que algunas ideas vengan sugeridas por la observación de los fenómenos naturales; las operaciones producen rápidamente conceptos avanzados y complejos que difieren de la realidad observable, y que convalidan finalmente la imagen distorsionada de una matemática como puro juego lingüístico o como vacío formalismo.

Sin embargo, si nos remontamos a la historia más remota y a las más profundas motivaciones de la matemática, vemos que esta tenía una orientación diferente a lo que comúnmente se cree. Las fuentes nos muestran que la aritmética y la geometría antiguas empezaban a asumir la tarea no tanto de describir o simular las cosas reales como de ofrecer una base de la misma realidad del mundo de la que estas formaban parte. Los entes concretos, los más perceptibles de una forma directa e inmediata, eran los cambiantes y volátiles, los que parecían, por tanto, irreales. En los números, en las relaciones y en las figuras de la geometría había que encontrar, en cambio, lo que los sustraía de la inestabilidad y de la evanescencia.

Si pensamos en las célebres paradojas de Zenón, en los números-puntos de los pitagóricos y de los atomistas antiguos, en la filosofía matemática de Platón, en el descubrimiento de la inconmensurabilidad y en el significado del concepto de relación (lógos), en los cálculos babilónicos y en la matemática védica, nos encontramos ante una grandiosa estructura de conocimientos tendentes a captar la parte más interior e invisible, y al mismo tiempo más real, de los entes que existen en la naturaleza. Pero esta orientación no pertenece solo a la matemática antigua. La teoría de los números y del continuo aritmético elaborada en el siglo XIX se propuso como una continuación ideal del antiguo pitagorismo y de su visión del mundo inspirada en un principio de realidad atomista. Los matemáticos de entonces seguían sosteniendo que sus construcciones simbólicas correspondían a entes muy reales, y la sensación más difundida era que del éxito de sus teorías dependían los cimientos necesarios para comprender el mundo. Cuando, a principios del siglo XX , aquellas teorías se volvieron inciertas y empezaron a sufrir una revisión crítica, la matemática tuvo que buscar las razones por las que un sistema de cálculo es verdaderamente concreto y fiable.

Comenzó entonces a circular insistentemente entre los matemáticos un término clave, el de algoritmo, que denotaba no tanto una fórmula abstracta como un proceso efectivo. Este proceso debía desarrollarse en un número finito de pasos, desde un conjunto de datos iniciales hasta un resultado final, en el espacio y el tiempo, según las modalidades previstas por una máquina. Las definiciones formales de algoritmo, basadas en la recursión, en la máquina de Turing o en otros formalismos, se remontan a los años treinta del siglo pasado, pero los primeros indicadores de que sería el concepto de algoritmo el que heredaría el sentido de la realidad matemática, es decir, de todo lo que los matemáticos perciben como real y efectivo, se registran ya en la primera década del siglo XX en los pródromos del intuicionismo matemático y en las primeras argumentaciones con las que Émile Borel afrontaba las paradojas semánticas y la incipiente crisis de los cimientos.

La ciencia de los algoritmos tuvo un desarrollo turbulento durante todo el siglo XX y alcanzó un punto culminante en las definiciones formales de los años treinta, para después dividirse, a raíz de la construcción de los primeros ordenadores, en dos filones complementarios y relativamente contrapuestos: por un lado, la informática teórica, con una teoría abstracta de la computabilidad y de la complejidad computacional; por otro, una ciencia del cálculo a gran escala, destinada a resolver problemas de la física matemática, de la economía, de la ingeniería o de la informática en términos puramente aritméticos y numéricos. Las múltiples dimensiones filosóficas de este segundo filón no han sido todavía suficientemente aclaradas, pero ya es evidente, para la sensibilidad de cualquiera, lo mucho que ha afectado, en todos los sectores de la vida, de la cultura y del orden social, la multiplicación de una variedad diversificada de procesos de cálculo dirigidos a resolver problemas específicos de muy distinta índole.

En el cálculo numérico a gran escala, la efectividad teórica de los algoritmos aspira a ser eficiencia computacional. Y hoy ya parece claro que, para ser reales, los mismos entes matemáticos construidos con un proceso de cálculo deben poder pensarse del mismo modo que los algoritmos eficientes. Sin embargo, la eficiencia depende sobre todo de la forma en la que aumentan la complejidad computacional y el error en los cálculos. El error, concretamente, depende de la velocidad con la que crecen los números durante el cálculo.

Los motivos del crecimiento de los números son estrictamente matemáticos y se explican gracias a teoremas relativamente avanzados. Pero no es superfluo observar que el motivo del crecimiento, en todas sus dimensiones, fue objeto de una gran atención ya en el pensamiento antiguo, y es precisamente la forma en la que el crecimiento de las magnitudes es tratado en la geometría griega, en los cálculos médicos y en la aritmética mesopotámica lo que lleva a comprender las causas del crecimiento de los números en los algoritmos modernos. La razón es tan simple como sorprendente: algunos importantes esquemas computacionales han permanecido invariables desde entonces, incluso en las más complejas estrategias de las que se vale hoy el cálculo a gran escala.