Enrique Gracián - Los números primos

El teorema afirma que todo número natural diferente de 1 se puede expresar de forma única como producto de factores primos.

En primer lugar es preciso aclarar por qué se excluye a la unidad como número primo. Hay diversas razones, pero la más obvia es que de no ser así el teorema no se cumpliría, ya que el número 1, siendo primo, podría factorizarse de varias maneras:

1 = 1 · 1 = 1 · 1 · 1 = 1 · 1 · 1 · 1 = …

Hecha esta salvedad, para demostrar el teorema se procede en dos pasos. En el primero se indica que existe la descomposición, y en el segundo, que ésta es única.

La primera parte se trabaja por reducción al absurdo. Supongamos que n es el número más pequeño que no puede ser descompuesto en factores primos. Sabemos que no puede ser 1 porque hemos descartado esta posibilidad en el mismo enunciado del teorema. Tampoco puede ser un número primo porque éste se descompone en sí mismo como tal; de modo que tiene que ser un número compuesto de la forma n = a · b, con a y b menores que n. Pero como n era el menor que cumplía la condición de no poder descomponerse en factores primos, quiere decir que a y b sí lo hacen, por lo que forzosamente debe hacerlo también n, llegando de este modo a una contradicción.

La segunda parte de la demostración se basa en el siguiente resultado:

Si p es un número primo que divide un producto de factores, forzosamente tiene que dividir a alguno de esos factores. Este resultado puede demostrarse mediante la identidad de Bézout.

Supongamos que un número natural mayor que 1 se puede descomponer en factores primos de dos maneras diferentes: tomamos un número primo p de la primera descomposición. Necesariamente, dicho número debe dividir a la segunda descomposición y, por tanto, a alguno de sus factores. Eligiendo el factor al que divide, como se trata de un factor primo, es necesario que sea igual a p. Ya hemos encontrado dos factores iguales en la descomposición. Tomando ahora otro número primo seguiríamos el proceso hasta ver que los factores primos que figuran en ambas descomposiciones son todos iguales.

Expresado mediante congruencias, tal y como hemos visto en el capítulo 5, el teorema afirma que «Si p es un número primo, entonces para cada número natural a se tiene que ap ≡ a (mod p)».

El teorema es equivalente a demostrar que p divide a ap − a.

Demostraremos el teorema por el método de inducción sobre a, es decir, supondremos que es cierto para un número natural a y demostraremos entonces que también se cumple para a + 1.

De manera que partimos de la hipótesis de que p divide a ap − a. Según el desarrollo del binomio de Newton, se tiene que:

Pasando al primer miembro los sumandos ap y 1 nos queda:

El factor p está en todos los factoriales del segundo miembro, por lo que podemos afirmar que p divide al miembro de la derecha y, por tanto, también al de la izquierda, (a + 1)p − ap − 1.

Como, por hipótesis de inducción, p divide a ap− a, podemos afirmar también que divide a la suma

[(a + 1)p − ap − 1] + ap − a

Suma que, haciendo las operaciones convenientes, se puede expresar de la forma:

[(a + 1)p − ap − 1] + ap − a = (a + 1)p − (a + 1)

De este modo indicamos que también se cumple para a + 1 y, por tanto, queda demostrado el teorema.

Bentley, P. J., El libro de las cifras, Barcelona, Paidós, 2008.

Durán, A. J., Pasiones, piojos, dioses… y matemáticas, Barcelona, Destino, 2009.

Hardy, G. H., Apología de un matemático, Madrid, Nivola, 1995.

Ifrah, G., Las Cifras, Madrid, Alianza, 1987.

Kircher, P., Aritmología, Madrid, Breogán, 1984.

Kline, M., El pensamiento matemático, Madrid, Alianza, 1994.

Newman, J. R., Srinivasa Ramanujan, Barcelona, Blume, 1974.

Pickover, C. A., El prodigio de los números, Barcelona, Ma non troppo, 2002.

Sautoy, M. du, La música de los números primos, Barcelona, Acantilado, 2007.

Stewart, I., De aquí al infinito, Madrid, Crítica (Grijalbo Mondadori), 1998.

— Historia de las matemáticas, Madrid, Crítica, 2008.

Szpiro, G., La vida secreta de los números, Córdoba, Almuzara, 2009.

Los números primos, como todo, tuvieron un origen, un nacimiento que hay que buscar en los mismos inicios de los sistemas de numeración. Vinieron dados con los números naturales, pero muy pronto destacaron como «números especiales».

«Dios hizo los diez primeros números; el resto es obra del hombre». Leopold Kronecker (1823-1891) , matemático alemán a quien se atribuye esta afirmación, se refería a los números naturales, que son los que utilizamos para contar, 1, 2, 3, 4, 5,… Kronecker afirmaba así que gran parte del edificio matemático se construye a partir de la aritmética elemental. Pero afirmar que Dios nos dio los diez primeros números es tanto como decir, fuera de un contexto religioso, que no hay nada más natural que un número natural, es decir, que estos números siempre han estado ahí, como formando parte de la naturaleza que nos rodea.

No sería muy aventurado suponer que el proceso de contar se inició cuando el ser humano abandonó el estado de cazador-recolector para iniciar su larga andadura como agricultor-ganadero. En ese momento, numerosos bienes, como granos de trigo, cabezas de ganado o recipientes, dejaron de tener un uso inmediato para pasar a ser productos, lo cual hizo necesario iniciar determinados procesos de recuento. Imaginemos a un pastor que saca su rebaño a pastorear. Necesita estar seguro de que cuando regrese entrarán en el establo tantas cabezas de ganado como salieron. La forma más natural de hacerlo, si no dispone de un sistema de numeración, es buscar un montón de piedrecillas y colocar en una bolsa una piedra por cada oveja que sale. Luego, al volver, no tiene más que sacar una piedra por cada oveja que entra y comprobar así que las cuentas cuadran. Se trata de un proceso primitivo de cálculo (recordemos que cálculo proviene del latín calculis, «piedra») que no requiere del concepto de número. En términos de matemáticas actuales diríamos que el pastor establece una aplicación biyectiva o biunívoca entre el conjunto de ovejas y el conjunto de piedras. Pensemos que, en matemáticas, el concepto de aplicación biunívoca entre dos conjuntos no se estableció de forma precisa hasta el siglo XIX, por lo que puede resultar paradójico considerar que el proceso de contar sea de lo más natural. Y es que cuando afirmamos que algo es «natural» estamos obligados, por lo menos en este contexto, a establecer algunas precisiones.

PERCEPCIÓN NUMÉRICA

Cuando los chinos hablaban de las diez mil estrellas que hay en el cielo, no pretendían haberlas contado todas. Era simplemente una forma de expresar que se trataba de un número muy grande. Quizás a alguien le parezca que un billón es un número mejor para expresar algo excesivamente numeroso. De entrada hay que tener en cuenta que nuestra percepción directa de un número no va más allá de las cinco unidades. Cuando alguien extiende todos los dedos de una mano y tres de la otra, decimos rápidamente que hay un total de ocho dedos, pero eso es casi un código. Si alineamos ocho objetos encima de una mesa deberemos contarlos o agruparlos en cantidades conocidas para saber cuántos son. Ni que decir tiene que a partir de estas cantidades nuestra percepción sensorial numérica desaparece por completo. Por esta razón es muy difícil que nos hagamos una idea vaga de lo que son un millón de unidades si no tenemos una referencia inmediata. Sabemos el significado que tiene que nos toquen un millón de euros en la lotería porque conocemos el valor del dinero y rápidamente hacemos algunos cálculos de las cosas que podríamos comprar con él. Pero de ahí a que tengamos una percepción clara de lo que supone alinear un millón de monedas de un euro hay una gran diferencia (cubrirían una distancia de 23,25 km de longitud).