Edouard Lucas - El laberinto y otros juegos matematicos

Índice

Introducción

Primera recreación: El juego de los cruces en bote

Segunda recreación: El juego de los laberintos

Tercera recreación: El problema de las ocho damas en el juego de ajedrez

Cuarta recreación: La numeración binaria

Quinta recreación: El juego de dominó

Sexta recreación: El juego de los mosaicos

Séptima recreación: El juego de rondas

Introducción

Edouard Lucas nació en 1842, en Amiens, al norte de Francia. Después de cursar la Escuela Politécnica y la Escuela Normal fue nombrado en 1864 astrónomo adjunto del Observatorio de Paris. Y luego, profesor de matemáticas especiales en los liceos Saint Louis y Charlemagne. "Aunque fuese un experto en las matemáticas superiores de su época - señala el historiador de la ciencia Eric Temple Bell-, se abstuvo de trabajar sobre los temas de moda en su tiempo para poder dedicarse a la aritmética. Su Teoría de números (primera parte, 1891), por desgracia totalmente agotada, es un libro fascinante para los aficionados y los profesionales menos académicos en la teoría de números. Habría que juntar sus escritos y examinar y editar sus manuscritos inéditos. (Hace unos años se ofreció la fantástica suma de treinta mil dólares por los manuscritos de Lucas. En su vida había tenido él tanto dinero.)"

Edouard Lucas cultivó la matemática con entusiasmo. Fue un destacado conferencista, publicó más de doscientas memorias en revistas científicas, estableció una fecunda amistad con muchos matemáticos de su país y del extranjero, fue vicepresidente de la Sociedad Matemática de Francia. En el campo recreativo, Lucas fue el gran animador de su época, autor de artículos y libros, asiduo corresponsal con matemáticos profesionales y con aficionados, inventor de rompecabezas ingeniosos (como la Torre de Hanoi). Siempre se movió con comodidad entre la matemática seria y el juego matemático. La teoría de números, en especial, consiente fácilmente esta ida y vuelta. Veamos algunos casos que tuvieron a Lucas por protagonista.

Un número como el 12 se dice abundante porque la suma de sus divisores propios supera al mismo número

(1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16)

Son abundantes también el 18, el 24, el 30. Al ver cómo se van dando estos valores es tentador preguntarse si acaso existirá un abundante impar. La pregunta ya se la hacían en la antigua Grecia, y por muchos siglos se creyó que no existía ningún impar abundante. Hasta que en 1509 Charles de Bouvelles dio con el 45045, cuyos divisores suman 59797. Quedaba la duda de si no habría otro menor. Cuatrocientos años después, en 1891, Lucas probó que el 945, cuyos divisores suman 975, es el menor abundante impar.

Un número es primo si sólo admite dos divisores, a 1 y a sí mismo. Son primos

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…

Establecer si un número grande, un suponer

170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727

es o no primo, fue y sigue siendo un asunto arduo. No hay fórmula que zanje rápidamente la cuestión. En 1876, Lucas ideó un procedimiento apropiado, más eficaz que los existentes. Utilizándolo pudo anunciar que el número anterior, que se abrevia como 2127-1, es primo. Fue el mayor primo conocido hasta entonces, ¡Y siguió siéndolo hasta 1951!

Hacia 1949, en los comienzos de las computadoras electrónicas, uno de sus genios creadores, John von Neumann, propuso adaptar el método de Lucas para estas máquinas, con las que se terminó logrando en 1952 el siguiente primo de esa especie, el 2521-1.

En el año 1202, Leonardo de Pisa (conocido por el apodo Fibonacci) resolvió un sencillo problema de procreación de conejos mediante los números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Cada término, a partir del tercero, es la suma de los dos anteriores. Lucas estudió estos números, descubriéndoles notables propiedades, y bautizó a la secuencia como "sucesión de Fibonacci", A su vez, extendió la idea, y generó los números 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... Siguen la misma ley de formación que los de Fibonacci, salvo que arranca con los términos 1, 3. Esta nueva secuencia se conoce como la "sucesión de Lucas". Ambas han dado origen a una enorme cantidad de investigaciones, donde se entremezcla lo serio con lo recreativo.

El primer libro de Lucas fue Récréations Mathématiques; una obra que había proyectado en su juventud y que empezó a publicar en 1882. Lucas retorna allí, y enriquece, los grandes temas de la matemática recreativa, atendiendo a la ilación histórica y a los métodos de resolución. Al tiempo que hace Récréations, Lucas encara libros más serios y trabajosos; el ya nombrado sobre teoría de números, y la edición de los escritos dispersos del genio matemático de Toulouse, Pierre de Fermat. Esta concurrencia de libros serios-lúdicos es una especie de reflejo de otra similar que se había dado más de doscientos cincuenta años antes. En 1612, el matemático recreativo Gaspar Bachet publicaba su libro de recreaciones Problèmes plaisants et délectables, al tiempo que hacía una edición en latín de la Aritmética del gran matemático el siglo 11, Diofanto.

Es esta edición de Diofanto la que Fermat recorrería, haciéndole anotaciones en los márgenes, y generando apasionante s enigmas matemáticos, uno de los cuales sigue sin resolverse hasta el día de hoy.

Edouard Lucas llegó a publicar dos tomos de Récréations. Nuestro libro es una selección de ese material. El 3 de octubre de 1891, tras una corta y terrible enfermedad, Edouard Lucas muere. Sus amigos de la Sociedad Matemática de Francia, Delannoy, Laisant y Lemoine hacen publicar el tercero y el cuarto tomos, que Lucas había dejado casi terminados.

J. P.

Primera recreación

El juego de los cruces en bote

Al almirante de Jonquieres,

miembro del Instituto.

Contenido:

1. Historia. Biografía de Bachet
2. Cruce de un regimiento
3. Cruce del barquero
4. Cruce de las tres parejas
5. El error de Tartaglia
6. Cruce de las cuatro parejas
7. Problema general del cruce
8. Otra generalización del problema
9. La escala en una isla
10. Nota sobre el juego de los cruces

“El principal defecto de muchos sabios es que sólo se entretienen con discursos vagos y trillados, habiendo un campo tan bello para ejercitar el espíritu como el que ofrecen los objetos sólidos y reales, con ventaja para el público. Los cazadores, los pescadores, los comerciantes, los marinos viajeros e incluso los juegos, tanto de habilidad como de azar, proporcionan material como para aumentar considerablemente las ciencias útiles. Hasta en los ejercicios infantiles hay cosas que podrían detener al matemático más grande.”

LEIBNIZ, Oper. phil.

1. Historia. Biografía de Bachet

Esta primera recreación contiene la discusión, la rectificación y la generalización de diversos problemas de la antigüedad, que se refieren a la geometría del orden y de la posición. Con respecto al origen de los problemas siguientes, creemos que es desconocido.

Es fácil resolver los cruces en bote usando un mazo de cartas, para el problema de las tres o cuatro parejas; si hay más parejas, se usarán varios mazos. También podemos reemplazar las cartas por fichas numeradas blancas y rojas, o de dos colores cualesquiera. Si leemos atentamente la discusión del problema que ofrecemos más adelante, siguiendo al propio Bachet, aprenderemos rápidamente el funcionamiento de este interesante juego. Bachet es uno de los primeros autores franceses que ha escrito acerca de la aritmética y la geometría de posición; hemos extraído del prefacio de nuestra obra Investigación sobre el análisis indeterminado y la Aritmética de Diofanto (Moulins, 1873), la siguiente noticia biográfica:

GASPAR BACHET, SEÑOR DE MEZIRIAC, nacido en Bourg-en-Bresse, en 1581, y muerto en 1638, fue un geómetra y literato distinguido. Al regreso de un viaje a Italia en compañía del gramático Vaugelas, fue propuesto como preceptor de Louis XIII, pero como no era ambicioso, se marchó precipitadamente de la capital, completamente asustado y diciendo que nunca se había sentido tan apenado, imaginándose ya que llevaba sobre sus hombros toda la pesada carga del reino. De regreso a su ciudad natal, se casó, y por 10 que parece su elección fue afortunada, ya que él mismo reconoció que era lo mejor que había hecho en su vida. En medio de la calma de esa vida interior, descubrió la resolución de la ecuación indeterminada de primer grado con números enteros, publicó dos ediciones sucesivas de Recueil de Problemes plaisants et délectables qui se font par les Nombres, Lyon, 1613 y 1614 (Colección de problemas placenteros y amenos que se hacen con números), y su comentario sobre La Aritmética de Diofanto (Pans. 1621).